Ideale (matematica): differenze tra le versioni
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Un ideale che sia contemporaneamente destro e sinistro si dice '''ideale bilatero'''. Nel caso particolare in cui ''A'' sia un [[anello commutativo]] le nozioni date coincidono e parliamo semplicemente di '''ideale'''. Per semplicità diamo le definizioni seguenti solo in un anello commutativo.
Un ideale ''I'' è un '''ideale proprio''' se è un sottoinsieme proprio di ''A'', cioè non coincide con ''A''. Un ideale proprio è un '''[[ideale massimale]]''' se non
Se ogni elemento ''x'' di ''I'' può essere scritto come
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dove ''i''<sub>''k''</sub> è un elemento di ''A'' e ''{a''<sub>''k''</sub>: ''k=1,...,n''} è un sottoinsieme finito fissato di ''A'', diciamo che ''I'' è '''[[insieme di generatori|finitamente generato]]''' e si scriverà ''I=(a<sub>1</sub>,..., a<sub>n</sub>)''. Se ''I'' è generato da un solo elemento diciamo che è un '''ideale principale'''.
== Storia ==
Il concetto di ideale fu introdotto da [[Ernst Eduard Kummer|Ernst Kummer]], per generalizzare il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]], che asserisce l'unicità della [[fattorizzazione|scomposizione]] di un [[numero intero]] in fattori [[numero primo|primi]]. Tale unicità non è più valida se si considerano [[estensione di anelli|estensioni]] dei numeri interi, come l'anello
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I primi <math>\sqrt{2}</math>, <math>\frac{\left( 1 + \sqrt{-5} \right)}{\sqrt{2}}</math> e <math>\frac{\left( 1 - \sqrt{-5} \right)}{\sqrt{2}}</math>, consentono una scomposizione unica di 6, tuttavia essi non appartengono a <math>\mathbb{Z}\left[ \sqrt{-5} \right]</math>, anche se vi appartiene ogni loro prodotto. Per tale caratteristica, Kummer denominò questi numeri come "primi ideali", dimostrando la decomposizione unica degli ideali in [[ideale primo|ideali primi]] per molte estensioni di <math>\mathbb{Z}</math>. Gli ideali furono pertanto definiti come gli insiemi formati dai prodotti di numeri ideali; a partire da questa idea, [[Richard Dedekind]] diede nel [[1871]] la definizione attuale di ideale.
== Proprietà ==
* Un ideale è proprio [[se e solo se]] non contiene l'unità dell'anello. Infatti appartengono all'ideale tutti i numeri ottenuti moltiplicando un qualsiasi elemento di A per 1.
* Più in generale risulta che <math>u \in I \Rightarrow I \equiv A</math> se ''u'' è invertibile. Infatti se ''u'' è invertibile <math>u^{-1}\in A</math>, quindi anche <math>uu^{-1}=1\in I</math> e ci si riporta al caso precedente.
* L'[[anello quoziente]] ''A / I'' è un [[dominio d'integrità]] se e solo se ''I'' è un ideale primo.
* L'anello quoziente ''A / I'' è un [[campo (matematica)|campo]] se e solo se ''I'' è un ideale massimale.
* Gli ideali giocano un ruolo simile a quello dei [[sottogruppo normale|sottogruppi normali]] nei [[teorema di isomorfismo|teoremi di isomorfismo]] sugli anelli.
* Un ideale può essere visto come [[modulo (algebra)|sottomodulo]] di un anello e molti teoremi sugli ideali possono essere estesi alla teoria dei moduli.
== Operazioni sugli ideali ==
Si definiscono somma e prodotto di ideali gli ideali definiti nel seguente modo:
:<math>I+J:=\{a+b \,|\, a \in I , b \in J\}</math>
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* Nell'anello '''Z''' degli interi, ogni ideale proprio è principale.
* L'insieme di tutti i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti [[numeri reali|reali]] divisibili per il polinomio ''x''<sup>2</sup> + 1 è un ideale nell'anello di tutti i polinomi.
* L'insieme delle [[matrice quadrata|matrici quadrate]] con ''n'' righe aventi l'ultima colonna nulla formano un ideale sinistro nell'anello di tutte le matrici
* L'anello C('''R''') di tutte le [[funzione continua|funzioni continue]] da '''R''' in '''R''' contiene l'ideale di tutte le funzioni continue ''f'' tali che ''f''(1) = 0.
* {0} e ''A'' sono ideali in qualsiasi anello ''A''. Se ''A'' è commutativo, è un [[campo (matematica)|campo]] se e solo se questi sono gli unici ideali di ''A''.
== Bibliografia ==
* {{Cita news|autore=[[Piergiorgio Odifreddi]]|titolo=Quell'idealismo dei matematici|pubblicazione=[[le Scienze]]|mese=7|anno=2007|pagina=105}}
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{{algebra}}
{{Portale|matematica}}
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[[fr:Idéal]]
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