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Riga 6: ==Nella risoluzione di sistemi lineari== I metodi iterativi sono un'alternativa ai metodi diretti per la risoluzione di [[sistema lineare\|sistemi lineari]], in generale preferibili a questi perché più efficiente o più stabili, soprattutto quando si devono trattare matrici di dimensioni considerevoli o [[Matrice sparsa\|matrici sparse]]. Si ricorda che, in quanto si parla di un sistema lineare, bisogna cercare di risolvere un problema del tipo <math>Ax^=b</math> (<math>x^</math> è la soluzione esatta del sistema). I metodi iterativi partono da ~~una~~un ~~soluzione~~dato iniziale arbitrario <math>x^{(0)}</math> e sono fatti in modo che <math>\lim_{k \to \infty} x^{(k)}=x^*</math>. ~~Poiché~~(''proprietà sidi convergenza''). ~~parla~~Trattandosi di [[vettore\|vettori]] si parla di convergenza in [[norma]]. ===Costruzione di un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare=== Riga 23: <math>x=M^{-1}Mx+M^{-1}b-M^{-1}Ax</math>. Il risultato finale è quindi <math>x=x(I-M^{-1}A)+M^{-1}b</math>. Se, in questa uguaglianza, sostituiamo <math>GB=I-M^{-1}A</math> e <math>c=M^{-1}b</math>, si ottiene quindi che: <math>x=GxBx+c</math>. dove <math>B</math> viene definita ''matrice di iterazione''. Questo risultato vale per qualunque matrice M non singolare e quindi si ha che <math>x^{(k+1)}=Gx^{(k)}+c</math>.▼ ▲Questo risultato vale per qualunque matrice M non singolare e quindi si ha che <math>x^{(k+1)}=GxBx^{(k)}+c</math>. Con questa regola ricorsiva si può procedere da un <math>x^{(0)}</math> fissato.

Metodo iterativo: differenze tra le versioni