Metodo iterativo: differenze tra le versioni
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Essendo il teorema un [[se e solo se]], la dimostrazione si svolge in due fasi.
Dalla [[Metodo iterativo#Costruzione di un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare|costruzione]] del metodo iterativo sappiamo che:
# <math>x = Bx + c</math>
# <math>x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + c</math>
Sottraiamo la <small>1</small> dalla <small>2</small> ottenendo:
<math>x^{(k+1)} - x = Bx^{(k)} + c - Bx - c</math>.
Semplifichiamo e mettiamo in evidenza <math>B</math> al secondo termine:
<math>x^{(k+1)} - x = B(x^{(k)} - x)</math>.
In base alla definizione dell'errore <math>e^{(k)}</math> di cui sopra, possiamo riscrivere l'equazione come
<math>e^{(k+1)} = B e^{(k)}</math>,
ottenendo quindi una definizione di <math>e</math> in termini di <math>B</math> come [[relazione di ricorrenza]].
Proviamo a sviluppare tale relazione di ricorrenza per ottenere una nuova definizione di <math>e</math> in termini di <math>B</math> che non sia ricorsiva ma diretta; procediamo quindi:
* <math>\, e^{(0)} \,</math> è la base della relazione di ricorrenza e dipenderà dalla scelta di <math>x^{(0)}</math>;
* <math>\, e^{(1)} = B e^{(0)} \,</math>;
* <math>e^{(2)} = B e^{(1)} \Rightarrow e^{(2)} = B B e^{(0)} \Rightarrow e^{(2)} = B^{2} e^{(0)} </math>;
* <math>e^{(3)} = B e^{(2)} \Rightarrow e^{(3)} = B B^{2} e^{(0)} \Rightarrow e^{(3)} = B^{3} e^{(0)}</math>;
* <math>e^{(4)} = B e^{(3)} \Rightarrow e^{(4)} = B B^{3} e^{(0)} \Rightarrow e^{(4)} = B^{4} e^{(0)}</math>;
* ''...''
Possiamo quindi riscrivere la relazione come <math>e^{(k)}=B^{k}e^{(0)}</math>.
Dall'osservazione di cui sopra quindi il metodo convergerà se:
<math>\lim_{k \to \infty} B^{k}e^{(0)} = 0, \forall x^{(0)} \Leftrightarrow \lim_{k \to \infty} B^{k} = 0</math>.
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