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Riga 1: In [[teoria dei campi]], una branca della [[matematica]], grossa importanza ha lo studio di coppie di campi contenuti l'uno nell'altro. Una tale coppia prende il nome di '''estensione di campi'''. == Definizione == In maniera precisa, se ''L'' è un [[campo (matematica)\|campo]] e ''K'' è un campo contenuto in ''L'' tale che le operazioni di campo in ''K'' sono le stesse di quelle in ''L'', diciamo che ''K'' è un sottocampo di ''L'', che ''L'' è un'estensione di ''K'' e che ''L'' / ''K''<ref name=quoz>Occorre precisare che in questo caso non si sta compiendo alcuna operazione di passaggio all'[[insieme quoziente]], come invece si fa per la creazione ad esempio dell'[[anello quoziente]]. Per tale motivo alcuni autori preferiscono la scrittura ''L'' : ''K''</ref> è un'estensione di campi. == Struttura lineare == Se ''L'' / ''K'' è un'estensione di campi, allora su ''L'' si può definire una moltiplicazione ''L'' ~~×~~× ''K'' ~~→~~→ ''L'', che non è altro che la moltiplicazione di ''L'' come campo ottenuta restringendo il secondo argomento a ''K''. Considerando questa moltiplicazione per gli "scalari" di ''K'' e la somma usuale di ''L'', otteniamo una struttura di [[spazio vettoriale]] sopra ''K''. La [[dimensione (spazio vettoriale)\|dimensione]] di questo spazio vettoriale si denota con [''L'' : ''K''] e si dice '''grado dell'estensione'''. Se tale grado è finito o infinito l'estensione si dirà rispettivamente '''finita''' o '''infinita'''. Se ''F'' è un intercampo dell’estensione ''L'' / ''K'' (cioè un sottocampo di ''L'' tale che ''K'' ⊆ ''F'' ⊆ ''L'') allora vale la formula del prodotto dei gradi, Riga 15: Se ''a'' è algebrico su ''K'', allora ''K''[''a''], cioè l'insieme di tutti i polinomi in ''a'' con coefficienti in ''K'', è un campo; in particolare è un'estensione di campo algebrica di ''K'' di grado finito su ''K''. Il grado è pari al grado del più piccolo polinomio ''p'' di cui ''a'' è radice. Nel caso particolare in cui ''K'' = '''Q''' è il [[numero razionale\|campo dei numeri razionali]], '''Q'''[''a''] è un esempio di [[campo numerico algebrico]]. == Generatori di un’estensione == Data l'estensione ''L'' / ''K'' e un [[sottoinsieme]] ''A'' di ''L'', si indica con ''K'' (''A'') il più piccolo sottocampo di ''L'' che contiene ''K'' e ''A'' (e sarà dunque anch'esso un'estensione del campo ''K'') e si dice che ''K'' (''A'') è ottenuto da ''K'' per ''aggiunta'' degli elementi di ''A''. Questi elementi sono detti '''generatori''' dell’estensione ''L'' / ''K''. Si prova che l’estensione ''K'' (''A'') / ''K'' risulta essere composta da tutti gli elementi di ''L'' che si possono ottenere mediante ripetizione delle operazioni di campo di ''L'' (somma, prodotto e inverso) tra elementi di ''K'' ∪ ''A''. Un'estensione di campi ''L'' / ''K'' tale che esiste un [[insieme finito]] ''A'' = {''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>n</sub>} con ''L'' = ''K'' (''A'') si dice '''finitamente generata''' e si scrive ''L'' = ''K'' (''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>n</sub>). Se poi ''L'' = ''K'' (''a'') per un qualche elemento ''a'' di ''L'' l’estensione si dice '''semplice'''. == Estensioni algebriche e di Galois == Per molti settori della teoria dei campi, come ad esempio la [[teoria di Galois]], una notevole importanza hanno le '''[[estensione algebrica\|estensioni algebriche]]''', ossia le estensioni ''L'' / ''K'' tali che ogni elemento di ''L'' è radice di un polinomio in ''K'' [''X'']. Usando il [[lemma di Zorn]] è possibile dimostrare che ogni campo ha una [[chiusura algebrica]], cioè un'estensione algebrica [[campo algebricamente chiuso\|algebricamente chiusa]] (ad esempio '''C''' è la chiusura algebrica di '''R'''). Delle importanti estensioni algebriche sono le [[estensione di Galois\|estensioni di Galois]], cioè estensioni algebriche ''L'' / ''K'' il cui [[gruppo di Galois]] lascia [[punto fisso\|fisso]] solo il campo ''K''. == Altri tipi di estensioni == Importanti sono anche i seguenti tipi di estensioni: * [[estensione separabile\|estensioni separabili]] * [[estensione normale\|estensioni normali]] * [[estensione di Kummer\|estensioni di Kummer]] * [[estensione abeliana\|estensioni abeliane]] * [[estensione ciclotomica\|estensioni ciclotomiche ]] * [[estensione radicale\|estensioni radicali]] == Voci correlate == * [[Campo (matematica)\|Campo]] * [[Estensione di anelli]] * [[Algebra astratta]] * [[Teoria dei campi]] == Note == <references/> Riga 62: [[ja:体の拡大]] [[ko:체의 확대]] [[nl:Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)]] [[pl:Rozszerzenie ciała]] [[pt:Extensão de corpo]]

Estensione di campi: differenze tra le versioni