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Teorema di Bézout: differenze tra le versioni

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Fine traduzione dall'inglese
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:''Questo articolo è inerente al teorema di Bézout (geometria algebrica); per il teorema in aritmetica, si veda [[:en:Bézout's identity|Bézout's identity]].''
 
In [[matematica]], il '''Teorema di Bézout''' permette di conoscere il numero di intersezione fra due curve. Il numero che si ottiene è soggetto ad 'interpretazione'; ma in ogni caso indica il ''massimo'' numero di intersezioni che due [[sezione_conica|curve algebriche]] possono avere, se non ammettono componenti comuni.
 
In [[geometria algebrica]], l'enunciato del '''Teorema di Bézout''' si applica ai punti di intersezione di curve piane ''X'' di grado ''m'' e ''Y'' di grado ''n'' (si intende per ''grado'' di una curva ''C'' il grado del [[polinomio]] che la descrive). Esso dice che il numero delle intersezioni, contate con la loro molteplicità, è precisamente ''mn'', eccetto nel caso in cui ''X'' e ''Y'' hanno una componente comune. Di conseguenza ''mn'' è il massimo numero finito di punti d'intersezione.
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== Esempi ==
Due rette distinte si incontrano sempre esattamente in un punto. Se sono parallele, questo punto è il punto all'infinito. Per vedere algebricamente come lavora, nello spazio proiettivo, le rette ''x''+2''y''=3 e ''x''+2''y''=5 sono rappresentate in coordinate omogenee dalle equazioni ''x''+2''y''-3''z''=0 e ''x''+2''y''-5''z''=0. Risolvendo, si ha ''x''= -2''y'' e ''z''=0, che corrisponde al punto (-2:1:0) in coordinate omogenee. Poiché la coordinata ''z'' è 0, questo punto giace sulla retta all'infinito.
 
Due circonferenze non si incontrano mai più di due punti nel piano, mentre il teorema di Bézout parla di quattro. Questa differenza nasce dal fatto che ogni circonferenza passa sempre per due punti complessi appartenenti alla retta dei punti all'infinito.
Two circles never intersect in more than two points in the plane, while Bézout's theorem predicts four. The discrepancy comes from the fact that every circle passes through the same two complex points on the line at infinity.
Scrivendo la circonferenza
Writing the circle
:<math>(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2</math>
nelle [[coordinate omogenee]] troviamo
in [[homogeneous coordinates]], we get
:<math>(x-az)^2+(y-bz)^2 - r^2z^2 = 0,</math>
fromdalla whichquale itè ischiaro clearche that thei pointpunti (1:''i'':0) ande (1:-''i'':0) lieappartengono onad everyogni circlecirconferenza. Quando Whendue twocirconferenze circlesnon don'tsi meet at allincontrano in thenessun realpunto planereale (forper exampleesempio becauseperchè theysono are concentricconcentrici) theyallora meetsi atincontrano thesenei twodue pointspunti ondella thelinea lineall'infinito ate infinityin andaltri twodue otherpunti complexcomplessi pointsche whichnon doappartengono not lie at infinityall'infinito.
 
D'accordo con il teorema ogni conica incontra la retta dell'infinito in due punti.Un'iperbole la incontra nei due punti corrispondenti alle due direzioni degli asintoti. Un'ellissi la incontra in due punti complessi coniugati --- nel caso della circonferenza i punti sono (1:''i'':0) e (1:-''i'':0). Una parabola la incontra in un solo punto, ma poichè è un punto di tangenza allora deve essere contato come doppio.
Any conic should meet the line at infinity at two points according to the theorem.
A hyperbola meets it at two real points corresponding to the two directions of the asymptotes. An ellipse meets it at two complex points which are conjugate to one another---in the case of a circle, the points (1:''i'':0) and (1:-''i'':0). A parabola meets it at only one point, but it is a point of tangency and therefore counts twice.
 
In generalgenerale, twodue conicsconiche meetsi incontrano in fourquattro pointspunti. La Thefigura followingseguente, picturesper showesempio, examples inmostra whichche thela circlecirconferenza ''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>-1=0 meetsincontra anotherogni ellipsealtra ellisse in fewerun intersectionnumero pointsminore becausedi atpunti leastdi oneintersezione ofpoichè themalmeno hasuno multiplicityha greatermolteplicità thanmaggiore di 1:
 
:[[Image:dbldbl.png]]
::<math>x^2+4y^2-1=0:\</math> \hbox{two(due intersectionsintersezioni ofdi multiplicitymolteplicità 2}</math>)
 
:[[Image:intersect3.png]]
::<math>5x^2+6xy+5y^2+6y-5=0:\</math> \hbox{an(una intersectionintersezione ofdi multiplicitymolteplicità 3}</math>)
 
:[[Image:intersect4.png]]
::<math>4x^2+y^2+6x+2=0:\ \hbox{an</math> intersection(una ofintersezione multiplicitydi molteplicità 4}</math>)
 
The definition of intersection multiplicity is given at [[intersection number]].
 
== Collegamenti esterni ==
* http://www.mathpages.com/home/kmath544/kmath544.htm
* http://www2.math.uic.edu/~jan/srvart/node7.html
 
* http://www.bookrags.com/sciences/mathematics/bzouts-theorem-wom.html
 
[[Categoria:Curve algebriche]]
[[Categoria:Teoria delle intersezioni]]
[[Categoria:Teoremi di matematicamatematici]]
 
[[en:Bézout's theorem]]
[[fr:Théorème de Bézout]]
[[vi:Định lý Bézout]]
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bézout"