Terza velocità cosmica: differenze tra le versioni
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Indichiamo con <math>v</math> la velocità iniziale della nave rispetto alla Terra, con <math>v_{c}</math> la [[prima velocità cosmica]] e con <math>v_{p}</math> la [[seconda velocità cosmica]]. L'energia totale della nave è la somma di [[energia cinetica]] ed [[energia potenziale gravitazionale]], quindi
:<math>E = \frac{1}{2}m v^{2} - G \frac{Mm}{r}</math>
dove M è la massa della Terra, m quella della nave e r la loro distanza relativa. Per prima cosa, la nave deve lasciare la zona di attrazione terrestre: ciò si verifica quando <math>r \rightarrow \infty</math> cioè l'[[energia potenziale]] si annulla. Sia <math>v_{\infty}</math> la velocità della nave rispetto alla Terra quando lascia la zona di attrazione di quest'ultima. Allora
:<math>\frac{1}{2}m v^{2} - G \frac{Mm}{r} = \frac{1}{2}m v_{\infty}^{2}</math>.
D'altra parte si sa che <math>v_{c}^{2} = GM/r</math>, quindi
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A questo punto passiamo nel sistema di riferimento del Sole. Chiamiamo <math>\vec{V}</math> la velocità della nave rispetto al Sole quando lascia la zona di attrazione terrestre. È chiaro che
:<math>\vec{V} = \vec{v}_{\infty} + \vec{v}_{Terra}</math>
dove compare la velocità della Terra rispetto al Sole. Questa velocità è circa uguale alla "prima velocità cosmica" (diciamo <math>\vec{V}_{c}</math>)
:<math>\vec{V} = \vec{v}_{\infty} + \vec{V}_{C}</math>
e per una nota proprietà della [[vettore (matematica)|somma vettoriale]]
:<math>V^{2} = v_{\infty}^{2} + V_{C}^{2} + 2 v_{\infty} V_{c} \cos{\theta}</math>
dove <math>\theta</math> è l'[[angolo]] formato dai vettori <math>\vec{v}_{\infty}</math> e <math>\vec{V}_{c}</math>, ovvero l'angolo tra la direzione del moto rispetto alla Terra e la direzione del moto della Terra rispetto al Sole.
Se vogliamo che la nave lasci il sistema solare, bisogna che la sua velocità (rispetto al Sole) sia almeno uguale alla seconda velocità cosmica (''velocità di fuga'')
:<math>V_{p} = V_{c} \sqrt{2}</math>.
In definitiva, si ottiene la seguente equazione nell'incognita <math>v_{\infty}</math>:
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