Differenze tra le versioni di "Serie di funzioni"

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[[ImmagineFile:Ln series positive real.png|300px|thumb|Convergenza della serie <math>\sum_{k=0}^n \frac{2}{2k+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1}</math> verso la funzione [[logaritmo]]]]
In [[analisi matematica]], una '''serie di funzioni''' è uno strumento usato per generalizzare lo studio della somma di un numero finito di [[funzione (matematica)|funzioni]] e giungere ad alcuni importanti risultati di [[convergenza]], per poter esprimere una funzione qualsiasi come una somma (infinita) di altre funzioni, magari più semplici da trattare.
 
In analogia con le serie numeriche, i termini <math>f_n</math> e <math>s_n</math> vengono detti rispettivamente ''termine generale'' e ''somma parziale'' della serie.
 
== Convergenza di una serie di funzioni ==
* Una serie <math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math> '''converge puntualmente''' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se la serie ''numerica'' <math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x_0)</math> converge a <math>f(x_0)</math> per ogni <math>x_0</math> in <math>A</math>. L'insieme <math>A</math> viene detto ''dominio di convergenza'' della serie.
 
* Una serie <math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math> '''converge uniformemente''' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se converge uniformemente la successione delle somme parziali <math>\{s_n(x)\}_{n \in \N}</math>
 
* Una serie <math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math> '''converge totalmente''' ad una funzione <math>f</math> in <math>A</math> se valgono le seguenti condizioni equivalenti:
:* <math>\exists \{M_n\}_{n \in \N} \subseteq \R_+ : \sum M_n < \infty, |f_n(x)| \leq M_n \forall x \in A, n \in \N</math>
:* <math>\sum \sup_{x \in A} |f_n(x)| < \infty</math>
 
Queste condizioni esprimono, in sostanza, l'esistenza di una serie a termini positivi convergente che "domini" la serie in questione, analogamente con il [[teorema della convergenza dominata]] di [[Henri Lebesgue|Lebesgue]].
Come per le serie numeriche, inoltre, una serie '''converge assolutamente''' se la serie di termine generale <math>|f_n|</math> converge puntualmente.
 
== Teoremi ==
<div style="float:center; width:60%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px;margin-top:8px; text-align:left">
Se una serie converge totalmente, allora converge anche uniformemente e assolutamente. Non è vero il viceversa.
</div>
 
== Esempi ==
 
Gli esempi di serie di funzioni sono molteplici nell'analisi. Si segnalano in particolare:
 
* '''[[Serie di potenze]]''' - serie in cui il termine generale è del tipo <math>a_n \, (x-c)^n</math>, dove <math>a_n</math> è un coefficiente variabile. Ha applicazioni anche nella [[combinatoria]] e nell'ingegneria elettrica.
* '''[[Serie di Taylor]]''' - caso particolare di una serie di potenze, in cui i coefficienti <math>a_n</math> sono rappresentati dalle [[derivata|derivate]] successive della funzione nel punto <math>c</math>, a meno di un termine [[fattoriale]] al denominatore. Sono usatissime, specie in una forma "troncata" all'<math>n</math>-esimo termine, per approssimare la funzione in esame nel punto <math>c</math>. Una funzione sviluppabile in serie di Taylor in ogni suo punto è detta [[funzione analitica|analitica]]. Sono dette anche '''serie di Taylor-MacLaurin''' se il punto iniziale è lo zero.
* '''[[Serie di Fourier]]''' - serie che approssimano il comportamento di funzioni [[funzione periodica|periodiche]] mediante somme infinite di [[seno (trigonometria)|seni]] e [[coseno|coseni]]. Si applicano per esempio nell'[[acustica]], nell'[[ottica]] e nella risoluzione di particolari [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]].
 
== Voci correlate ==
 
* [[Serie (matematica)|Serie]]
* [[Successione di funzioni]]
 
== Bibliografia ==
* Fusco, Marcellini, Sbordone, ''Elementi di Analisi Matematica Due. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea'', Liguori Editore, Napoli, 2001 ISBN 882073137188-207-3137-1
 
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{{Portale|matematica}}
 
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