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Riga 1: [[File:SkewedDistribution.png\|thumb\|200px\|Esempio di dati ~~con~~sperimentali ~~simmetria~~che ~~diversa~~presentano ~~da zero~~asimmetria]] In [[teoria delle probabilità]] una [[distribuzione di probabilità]] è '''simmetrica''' quando la sua [[funzione di probabilità]] ''P'' (nel caso [[distribuzione discreta\|discreto]]) o la sua [[funzione di densità di probabilità]] (nel caso [[distribuzione continua\|continuo]]) siano [[simmetria (matematica)\|simmetriche]] rispetto ad un valore fissato <math>x_0</math>: ~~In [[statistica]] una [[distribuzione statistica\|distribuzione]], una [[funzione di probabilità]],~~ :<math>P(x_0+x)=P(x_0-x)</math> oppure <math>f(x_0+x)=f(x_0-x)</math>. ~~una [[funzione di densità]] o comunque una [[variabile casuale]] si dicono '''simmetriche''' (in inglese ''skewness'')~~ ~~quando esiste un valore <math>X_m</math> (che coincide con la [[media]] aritmetica ovvero con il [[valore atteso]])~~ per il quale a tutti i valori minori <math>X_a</math> (con <math>X_a=X_m-\Delta</math>, <math>\Delta>0</math>) corrisponde una [[frequenza (statistica)\|frequenza]] o [[funzione di probabilità]] o [[funzione di densità]] identica a quella che corrisponde al valore <math>X_b=X_m+\Delta</math>. In altre parole, ciò è verificato laddove vale l'uguaglianza <math>f(X_m+\Delta)=f(X_m-\Delta)</math>, dove <math>f(\cdot)</math> denota la [[funzione di densità]] di probabilità (nel caso di variabili casuali continue) o la funzione di massa di probabilità (nel caso di variabili casuali discrete). Un '''indice di asimmetria''' (in [[lingua inglese\|inglese]] ''skewness'') di una distribuzione è un valore che cerca di fornire una misura della sua mancanza di simmetria. ~~In generale viene usata la statistica di simmetria:~~ ::<math>\beta_1=\frac{m_3}{m_2^3}</math>▼ ~~ove <math>m_3</math> e <math>m_2</math> sono rispettivamente il [[momento (statistica)\|momento centrale]] secondo e terzo. Tale indicatore è:~~ ~~:=0, nel caso di perfetta simmetria;~~ ~~:<0, per l'asimmetria a sinistra;~~ ~~:>0, per l'asimmetria a destra.~~ ~~Talvolta si utilizza in alternativa la statistica:~~ ::<math>\gamma_1=\frac{m_3}{\sqrt[2]{m_2^3}}=\sqrt{\beta_1}</math>▼ ~~Entrambe le statistiche hanno lo svantaggio che possono assumere valore nullo anche in presenza di asimmetria.~~ Esistono diversi indici di asimmetria. Per ognuno di essi il valore 0 fornisce una condizione necessaria, ma '''non''' sufficiente, affinché una distribuzione sia simmetrica. (Ogni distribuzione simmetrica ha indice 0, ma esistono anche distribuzioni non simmetriche con indice 0). ~~Un ulteriore indice di asimmetria è l'[[indice di asimmetria di Pearson]]:~~ ~~::<math>S_k=\frac{\mu-\nu_0}{\sigma}</math>~~ ove <math>\mu</math> denota la [[valore atteso\|media]], <math>\sigma</math> la [[deviazione standard]] e <math>\nu_0</math> è la [[moda (statistica)\|moda]]. Il problema di quest'ultimo indicatore è che: ~~# è applicabile solo a distribuzioni unimodali;~~ ~~# non è normalizzato;~~ ~~# <math>S_k=0</math> è una condizione necessaria ma non sufficiente per una distibuzione simmetrica.~~ Gli indici di asimmetria comunemente utilizzati si basano su alcune proprietà delle distribuzioni simmetriche o, in particolare, della [[distribuzione normale]]. Per tutte queste ==Voci correlate==▼ * il [[valore atteso]], la [[mediana]] e la [[moda (statistica)\|moda]] (se è unica) coincidono; * [[Variabile casuale simmetrica]] * i [[momento (statistica)\|momenti centrali]] di ordine dispari sono nulli. * [[Curtosi]]▼ * [[Varianza]]▼ * [[Media]] == Indice di asimmetria == L'indice più utilizzato, noto semplicemente come ''indice di asimmetria'' o ''skewness'', è definito come ▲::<math>\gamma_1=\frac{m_3}~~{\sqrt[2]~~{m_2^{3/2}~~}=\sqrt{\beta_1~~}</math> tramite i momenti centrali <math>m_k=E[\bar{X}^k]</math>, ovvero i valori attesi delle potenze della variabile aleatoria [[valore atteso\|centrata]] <math>\bar{X}=X-E[X]</math>. Poiché il primo momento centrale è sempre nullo ed il secondo momento centrale (la [[varianza]]) è nullo solo per le distribuzioni concentrate su un unico valore, il terzo momento centrale <math>m_3</math> è quello di ordine più basso che può "sperare" di misurare l'asimmetria di una distribuzione. Inoltre il riscalamento per <math>m_2^{3/2}</math> permette all'indice <math>\gamma_1</math> di restare invariato per [[trasformazione lineare\|traformazioni lineari]] <math>Y=aX+b</math>, che trasformano i momenti centrali come <math>m_k(aX+b)=a^km_k(X)\,\!</math>. Talvolta viene utilizzato al posto di <math>\gamma_1</math> l'indice ▲::<math>\beta_1=\gamma_1^2=\frac{m_3^2}{m_2^3}</math> che tuttavia perde l'informazione sul [[segno (matematica)\|segno]] dell'asimmetria. In [[statistica]] l'indice di asimmetria calcolato su un campione osservato <math>\{x_1,...,x_n\}</math> di media <math>\bar{x}</math> segue la formula :<math>g_1=\frac{\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}}</math>. Il successivo momento centrale <math>m_4</math> viene invece utilizzato per calcolare la [[curtosi]] (che vuole "misurare" l'allontanamento della distribuzione dalla distribuzione normale). === Proprietà === Ogni distribuzione simmetrica ha indice di asimmetria 0. La somma <math>Y=X_1+...+X_n</math> di ''n'' variabili aleatorie [[variabili indipendenti]] con la ''stessa'' distribuzione ha momenti centrali <math>m_k(Y)=nm_k(X)\,\!</math>; in particolare :<math>\gamma_1(Y)=\frac{1}{\sqrt{n}}\gamma_1(X)</math> Una convinzione '''sbagliata''' ma diffusa (e "sostenuta" da alcuni testi che la riportano come ''regola indicativa'') è che il segno del coefficiente <math>\gamma_1</math> possa determinare le posizioni reciproche del valore atteso, della [[mediana]] e della [[moda (statistica)\|moda]] (se questa è unica) di una distribuzione, in particolare che esse debbano coincidere se <math>\gamma_1=0</math>.<ref>{{cita web\|url=http://www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html\|titolo=Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule\|lingua={{en}}\|autore=Paul T. von Hippel\|accesso=21-03-2010\|opera=Journal of Statistics Education}}</ref> == Indice di Pearson == Alcune indici di asimmetria alternativi per un [[campione (statistica)\|campione statistico]] sono stati proposti da [[Karl Pearson]]; coinvolgono la media (il [[valore atteso]]), la [[mediana]], la [[moda (statistica)\|moda]] e lo [[scarto tipo]] (la radice quadrata della varianza): * l'asimmetria di moda di Pearson :( media - moda ) / scarto tipo, * il primo coefficiente di asimmetria di Pearson :3 ( media - moda ) / scarto tipo, * il secondo coefficiente di asimmetria di Pearson :3 ( media - mediana ) / scarto tipo. == Esempio == Un esempio di distribuzione non simmetrica con coefficiente di asimmetria 0 è la distribuzione discreta :<math>P(-4)=\tfrac{1}{3},\quad P(1)=\tfrac{1}{2},\quad P(5)=\tfrac{1}{6}</math>, che può essere visualizzata come il lancio di un dado le cui sei facce presentino i numeri " -4, -4, 1, 1, 1, 5 ". Questa distribuzione è chiaramente non simmetrica, tuttavia ha [[valore atteso]] pari a 0 (è centrata) e terzo momento centrale pari a <math>(-64-64+1+1+1+125)/6=0</math>, pertanto ha indici di asimmetria <math>\gamma_1=\beta_1=0</math>. Nell'esempio la moda e la mediana non coincidono con la media, ma questo si può ottenere aggiungendo altre 4 "facce" con valore 0; in questo modo anche gli indici di Pearson diventano nulli e la distribuzione resta non simmetrica. == Note == <references/> ▲== Voci correlate == ▲* [[Curtosi]] * [[Momento (statistica)]] * [[Simmetria (matematica)]] * [[Valore atteso]] ▲* [[Varianza]] {{Portale\|matematica}} [[Categoria:~~variabili~~Teoria ~~casuali~~della probabilità]] [[cs:Koeficient šikmosti]]

Simmetria (statistica): differenze tra le versioni