Chiusura (topologia): differenze tra le versioni
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=== Chiusura di un insieme ===
La '''chiusura''' di un insieme ''S'' è l'insieme di tutti i punti di chiusura di ''S''. La chiusura di ''S'' è indicata con <math>\overline S</math>, cl(''S''), Cl(''S''), o ''S''<sup>
* cl(''S'') è un insieme chiuso e contiene ''S''.
* cl(''S'') è l'intersezione di tutti gli [[insieme chiuso|insiemi chiusi]] che contengono ''S''.
* cl(''S'') è il più piccolo insieme chiuso contenente ''S''.
* Un insieme ''S'' è chiuso [[se e solo se]] ''S'' = cl(''S'').
* Se ''S'' è un sottoinsieme di ''T'', allora cl(''S'') è un sottoinsieme di cl(''T'').
* Se ''A'' è un insieme chiuso, allora ''A'' contiene ''S'' se e solo se ''A'' contiene cl(''S'').
Talvolta la seconda o la terza proprietà sono prese come ''definizione'' della chiusura topologica.
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== Esempi ==
* In ogni spazio, la chiusura dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
* In ogni spazio ''X'', cl(''X'') = ''X''.
* Se ''X'' è lo spazio euclideo '''R''' dei [[numeri reali]], allora cl((0, 1)) = [0, 1].
* Se ''X'' è lo spazio euclideo '''R''', allora la chiusura dell'insieme '''Q''' dei [[numero razionale|numeri razionali]] è l'intero spazio '''R'''. Diciamo che '''Q''' è [[denso (topologia)|denso]] in '''R'''.
* Se ''X'' è il [[numero complesso|piano complesso]] '''C''' = '''R'''<sup>2</sup>, allora cl({''z'' in '''C''' : |''z''| > 1}) = {''z'' in '''C''' : |''z''|
* Se ''S'' è un sottoinsieme [[finito]] di uno spazio euclideo, allora cl(''S'') = ''S''. (Per uno spazio topologico generico, questa proprietà è equivalente all'[[spazio T1|assioma T<sub>1]].)
Sull'insieme dei numeri reali si possono porre altre topologie oltre a quella standard.
* Se ''X'' = '''R''', dove '''R''' ha la [[topologia del limite inferiore]], allora cl((0, 1)) = [0, 1].
* Se si considera su '''R''' la topologia nella quale ogni insieme è aperto (chiuso), allora cl((0, 1)) = (0, 1).
* Se si considera su '''R''' la topologia nella quale gli unici insiemi aperti (chiusi) sono l'insieme vuoto e ''R'' stesso, allora cl((0, 1)) = '''R'''.
questi esempi mostrano che la chiusura di un insieme dipende dalla topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti.
* In ogni [[spazio discreto]], dal momento che ogni spazio è aperto (chiuso), ogni insieme è uguale alla sua chiusura.
* In ogni [[spazio banale]] ''X'', dal momento che gli unici insiemi aperti (chiusi) sono l'insieme vuoto e ''X'' stesso, abbiamo che la chiusura dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto, e per ogni sottoinsieme non vuoto ''A'' di ''X'', cl(''A'') = ''X''. In altre parole, ogni insieme non vuoto in uno spazio banale è denso.
La chiusura di un insieme dipende anche dallo spazio nel quale stiamo prendendo la chiusura. Ad esempio, se ''X'' è l'insieme dei numeri razionali, con l'usuale [[topologia di sottospazio]] indotta dallo spazio euclideo ''R'', e se ''S'' = {''q'' in '''Q''' : ''q''<sup>2</sup> > 2}, allora ''S'' è chiuso in '''Q''', e la chiusura di ''S'' in '''Q''' è ''S''; tuttavia, la chiusura di ''S'' nello spazio euclideo '''R''' è l'insieme di tutti i ''numeri reali'' maggiori ''o uguali a'' <math>\sqrt2</math>.
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== Operatore di chiusura ==
L<nowiki>'</nowiki>'''operatore di chiusura''' <sup>
:''S''<sup>
e anche
:''S''<sup>o</sup> = ''X'' \ (''X'' \ ''S'')<sup>
dove ''X'' indica lo [[spazio topologico]] contenente ''S'', e il simbolo \ indica il [[insieme complemento|complemento]] di un insieme.
Riga 80:
* [[Insieme chiuso]]
* [[Insieme localmente chiuso]]
* [[Algebra di chiusura]]
Riga 91:
[[en:Closure (topology)]]
[[es:Clausura topológica]]
[[et:Sulund]]
[[fr:Adhérence (mathématiques)]]
[[he:סגור (טופולוגיה)]]
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