Numero di Smith: differenze tra le versioni
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Sono stati chiamati in questo modo per la prima volta nel 1982 da [[Albert Wilansky]], poiché aveva scoperto che suo cognato H. Smith aveva come numero di telefono 493-7775 (per l'appunto un numero di Smith!). Tale numero nel 1982 era un record.
Nel 1983 su Mathematics Magazine apparve un metodo per generarli: se p è un numero primo costituito da tutte cifre 1, quindi è un numero palindromo repunit, allora un numero di Smith si ottiene con 3304*p.
Successivamente si è scoperto che oltre a 3304 si può anche usare 1540*p. Infatti:
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1.720, 2.170, 2.440, 5.590, 6.040, 7.930, 8.344, 8.470, 8.920, 23.590, 24.490, 25.228, 29.080, 31.528, 31.780, 33.544, 34.390, 35.380.
Esistono tuttavia anche altre tecniche per generarli. Anche tra i palindromi esistono numeri di Smith come 1234554321; mentre esistono anche i numeri fratelli Smith, cioè successivi, come 728 e 729 <ref>{{cite journal | last = Pickover | first = Clifford | title = Le meraviglie dei numeri}}</ref>▼
Nel 1984, Pat Costello generò numeri di Smith con la formula p*q*10^M dove p è un piccolo primo e q è un numero primo di Mersenne noto. Come si deve scegliere M nella formula p*q*10^M?
[[W. L. McDaniel]] ha dimostrato nel 1987 che esistono infiniti numeri di Smith.<ref>{{cite journal | last = McDaniel | first = Wayne | title = The existence of infinitely many k-Smith numbers | journal = [[Fibonacci Quarterly]] | volume = 25 | issue = 1 | pages = 76-80 | date = 1987}}</ref>▼
Un metodo è il seguente:
Nella base 10, i primi numeri di Smith sono ▼
a) Si sceglie il numero primo di Mersenne e si calcola la somma dei suoi digit
b) Si un numero primo piccolo p e si fanno i seguenti passi:
b1) si calcola ps = somma dei digit di q + la somma dei digit di p;
b2) si calcola il prodotto p*q;
b3) si calcola ds = somama dei digit di p*q;
se ds<ps, si torna a b) e si scegli un nuovo p;
se ds=ps, allora p*q è un numero di Smith;
se ds>ps, allora si calcola (ds-ps) mod 7;
se (ds-ps) mod 7 = 0 allora M = (ds-ps)/7 e p*q*10^M è un numero di Smith
altrimenti si torna a b) e si sceglie un nuovo p.
Esempio:
Scegliamo q = 2^17-1 = 131071 scegliamo p = 5011.
ps = 20.
p*q = 656796781.
ds = 55.
ds-ps = 35 divisibile per 7 per cui M=35/7=5.
p*q*10^5 = 65679678100000 è un numero di Smith secondo la definizione iniziale
Costello individuò 65 numeri di Smith in questo modo, incluso uno da record:
191*(2^216091-1)*10^266 con 65319 digit.
▲Nel 1987, [[W. L. McDaniel]]
McDaniel generò i numeri di Smith della forma t*9Rn*10^M dove t è nell'insieme {2, 3, 4, 5, 7, 8, 15}, con Rn repunit primo.
Si suppone che esistono molte altre forme generatrici di numeri di Smith.
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▲Nella base 10, i primi numeri di Smith sono:
[[Quattro|4]], [[Ventidue|22]], [[Ventisette|27]], [[Cinquantotto|58]], [[Ottantacinque|85]], [[Novantaquattro|94]], 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, ... {{OEIS|A006753}}
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