Chiusura integrale: differenze tra le versioni
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== Definizione ==
Sia ''S'' un [[dominio d'integrità]] ed ''R'' un [[sottoanello]] di ''S''. Un elemento ''s'' di ''S'' è '''
L'insieme degli elementi di ''S'' che sono integrali su ''R'' è un sottoanello di ''S'' contenente ''R'', ed è chiamato la '''chiusura integrale''' di ''R'' in ''S''. Se la chiusura integrale di ''R'' in ''S'' è ''R'' stesso, allora ''R'' è detto '''integralmente chiuso''' in ''S''. La terminologia usata è motivata dai fatti seguenti, tipici delle "chiusure" in matematica:
* la chiusura di ''R'' è sempre integralmente chiusa;
* la chiusura di ''R'' è il più piccolo anello integralmente chiuso che contiene ''R''.
Le definizioni date ovviamente non dipendono solo da ''R'', ma anche dall'anello ''S'' che lo contiene.
Se tutti gli elementi di ''S'' sono interi su ''R'', l'estensione <math>R\subseteq S</math> è detta [[estensione intera|intera]].
== Esempi ==
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Se ''S'' è il [[dominio d'integrità#Campo delle frazioni|campo quoziente]] di ''R'', la chiusura di ''R'' in ''S'' è chiamata semplicemente '''chiusura algebrica''' di ''R'' (senza menzionare ''S''), e se ''R'' è integralmente chiuso in ''S'' allora ''R'' è '''integralmente chiuso'''.
Per quanto visto sopra, gli interi sono integralmente chiusi (il campo quoziente di '''Z''' è '''Q'''). Molte classi di anelli sono integralmente chiusi: tra questi vi sono i [[dominio a fattorizzazione unica|domini a fattorizzazione unica]] e gli [[anello di valutazione|anelli di valutazione]].
Essere integralmente chiuso è una proprietà ''locale'', nel senso che un dominio d'integrità è integralmente chiuso se e solo se lo sono tutte le [[localizzazione di un anello|localizzazioni]] ''A<sub>P</sub>'', dove ''P'' è un [[ideale primo]] di ''A''.
== Bibliografia ==
* M. Atiyah, I. Macdonald ''Introduction to commutative algebra'' Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969
*{{cita libro|autore=[[Irving Kaplansky]]|titolo=Commutative rings|editore=The University of Chicago Press|anno=1974|id=ISBN 0-226-42454-3|cid=Kaplansky}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria degli anelli]]
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