Regole di derivazione: differenze tra le versioni
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Sistemate formule secondo convenzioni tipografiche matematiche |
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|-
|height=70px width=25%|[[Regola della somma]] ([[Operatore lineare|linearità]])
|bgcolor=white| <math>\mathrm{D}[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x)\,</math><ref>
|-
|height=70px|[[Regola del prodotto]] (o ''di [[Leibniz]]'')
|bgcolor=white| <math>\mathrm{D} [ {f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) </math>
|-
|height=70px|[[Regola del quoziente]]
|bgcolor=white| <math>\mathrm{D}\! \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over g(x)^2}</math>
|-
|height=70px|[[Regola della funzione reciproca]]
|bgcolor=white| <math>\mathrm{D}\! \left[ {1 \over f(x)} \right] = -{f'(x) \over f(x)^2} </math>
|-
|height=70px|[[Regola della funzione inversa]]
|bgcolor=white| <math>\mathrm{D}[f^{-1}(y)] = {1 \over f'(x)}</math> , con <math>y = {f(x)}</math>
|-
|height=70px|[[Regola della catena]]
|bgcolor=white| <math>\mathrm{D} \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x) </math>
|}
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;[[Funzione polinomiale|Funzioni polinomiali]]
* <math>\mathrm{D}(a) = 0 \, , \, a \mbox{ costante}</math>
* <math>\mathrm{D}(x) = 1 \,</math>
* <math>\mathrm{D}(ax) = a \, , \, a \mbox{ costante}</math>
* <math>\mathrm{D}(x^2) = 2x \,</math>
* <math>\mathrm{D}(x^3) = 3x^2 \,</math>
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo =
* <math>\mathrm{D}(a) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{a -a }\over{h}}= 0</math>
* <math>\mathrm{D}(x) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h) - x }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{h}\over{h}} = 1</math>
* <math>\mathrm{D}(x^2) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h)^2 - x^2 }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{x^2 + 2hx + h^2 - x^2}\over{h}} = \lim_{h\to 0} (2x + h) = 2x</math>
* <math>\mathrm{D}(x^3) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h)^3 - x^3 }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}\over{h}} = \lim_{h\to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 ) = 3x^2</math>
}}
Più in generale si ha:
* <math>\mathrm{D}(x^n) = nx^{n-1} \
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo =
<math>\mathrm{D}(x^n) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}{{(x+h)^n - x^n}\over{h}}</math><br /> <br />
Applicando il [[teorema binomiale]] <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}</math> e le proprietà dei [[Coefficiente_binomiale|coefficienti binomiali]] si ottiene <br /><br />
<math>\mathrm{D}(x^n) = \lim_{ h \to 0} \frac{x^n + n x^{n-1} h + {n \choose 2} x^{n-2} h^2 + {n \choose 3} x^{n-3} h^3 + \ldots + {n \choose n-2} x^2 h^{n-2} + nxh^{n-1}+ h^n - x^n}{h}= </math> <br/><br />
<math>= \lim_{ h \to 0} \frac{n x^{n-1} h + {n \choose 2} x^{n-2} h^2 + {n \choose 3} x^{n-3} h^3 + \ldots + {n \choose n-2} x^2 h^{n-2} + nxh^{n-1}+ h^n }{h}= </math> <br/><br />
<math>= \lim_{ h \to 0} \left( n x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} h + {n \choose 3} x^{n-3} h^2 + \ldots + {n \choose n-2} x^2 h^{n-3} + nxh^{n-2}+ h^{n-1} \right) = nx^{n-1}</math> <br/>
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;Altre [[funzione algebrica|funzioni algebriche]]
* <math>\mathrm{D}(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1} \quad
* <math>\mathrm{D}(\sqrt[2]{x}) = { \frac {1} {2 \sqrt[2]{x}}}</math><br />
* <math>\mathrm{D}(\sqrt[n]{x^m}) = { \frac {m} {n} \sqrt[n]{x^{m-n}} }\
* <math>\mathrm{D}(|x|) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }x>0 \\-1 & \mbox{se }x<0\\\mbox{non derivabile} & \mbox{se } x=0 \end{matrix}\right. \,</math>
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo =
*
:<math>
:applicando la regola di derivazione di una funzione composta: <br /><br />
:
:applicando la regola sopra dimostrata <math>\ \mathrm{D}(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1} \ </math> si ottiene<br /><br />
:<math>\mathrm{D}(\sqrt[n]{x^m}) = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} -1 } = \frac{m}{n} x^{\frac{m-n}{n} } = \frac {m} {n} \sqrt[n]{x^{m-n}} </math><br />
}}
Line 74 ⟶ 76:
;Funzioni [[funzione logaritmica|logaritmiche]] ed [[funzione esponenziale|esponenziali]]
*<math>\mathrm{D}( \log_b x ) = \frac{\log_b \mathrm{e}}{x} = \frac{1}{x \ln\! b} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \ln x ) = \frac 1 x \,</math>
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo =
*<math>\mathrm{D}(\log_b x ) = \lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}{{\log_b (x+h) - \log_b(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \log_b {\frac{x+h}{x}}</math>
:Applicando ancora le proprietà dei [[Logaritmo|logaritmi]] si ottiene
:<math>\mathrm{D}(\log_b x ) = \lim_{h\to 0} \log_b { \left( {\frac{x+h}{x}} \right) }^{\frac{1}{h} } = \lim_{h\to 0} \log_b { \left( 1 + \frac{h}{x} \right) }^{\frac{1}{h} } </math>
:Applicando il limite notevole <math>\lim_{z\to 0} {\left ( 1 + \theta z \right ) }^{\frac{1}{z}} = \mathrm{e}^\theta \!</math> dove <math> \theta = \frac{1}{x} </math> si ottiene
:<math>\mathrm{D}(\log_b x ) = \log_b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} = \frac{\log_b \mathrm{e} }{x} = \frac{1}{x \ln b} </math>
*
:<math>\mathrm{D}( \ln x ) =\frac{\
}}
*<math>\mathrm{D}( e^x ) = \mathrm{e}^x \,</math>
*<math>\mathrm{D}( a^x ) = a^x \ln a \,</math>
*<math>\mathrm{D}( x^x ) = x^x (1 + \ln x) \,</math>
{{cassetto|titolo = Dimostrazione n. 1|testo =
*<math>\mathrm{D}(\mathrm{e}^x) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x+h}-\mathrm{e}^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{e}^
:dal limite notevole <math>\lim_{z\to 0} \frac{k^z-1}{z}=\ln k \, </math>
*<math>\mathrm{D}(a^x) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^xa^h-a^x}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{a^x(a^h-1)}{h}=a^x\lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}=a^x \ln a \,</math>
:dal limite notevole <math>\lim_{z\to 0} \frac{k^z-1}{z}=\ln k \, </math>
<br />
:Un altro sistema è questo:
:
:<math>
:applicando la regola di derivazione di una funzione composta:
:<math>\mathrm{D} \left( \mathrm{e}^{x \ln a} \right) = \mathrm{e}^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a </math>
*<math>\mathrm{D}(\ln(f(x)))={{f'(x)}\over{f(x)}} \Rightarrow f(x)\mathrm{D}(\ln(f(x)))=f'(x)</math>
:e quindi
:<math>\mathrm{D}(x^x)=x^ }}
Line 108 ⟶ 114:
*Data la funzione <math>y=a^x</math> applicando la regola di [[Regola della funzione inversa|derivazione della funzione inversa]], in questo caso <math>x= \log_a y </math>, si ha
:<math>\mathrm{D}(a^x) = \frac{1}{\mathrm{D}(\log_a y)} = \frac{1}{\frac{1}{y} \log_a \mathrm{e}} = y \ln a = a^x \ln a </math>
*
:<math>\mathrm{D}(\mathrm{e}^x) = \mathrm{e}^x \ln \mathrm{e} = \mathrm{e}^x </math>
}}
;[[Funzioni trigonometriche]]
*<math>\mathrm{D}( \sin x ) = \cos x \,</math>
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo = Per prima cosa scriviamo il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione: <br/><math> \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(x_0 + h)-\sin(x_0)}{h}}</math>
<br/>
Line 146 ⟶ 152:
*<math>\mathrm{D}( \cos x ) = - \sin x \,</math>
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo = Per prima cosa scriviamo il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
<br/><math> \lim_{h \to 0} {\frac{\cos(x_0 + h)-\cos(x_0)}{h}}</math> <br/>
Line 176 ⟶ 182:
}}
*<math>\mathrm{D}( \tan x ) = 1 + \tan^2 x = {1 \over \cos^2 x} \,</math>
{{cassetto|titolo = Dimostrazione|testo =
:Per prima cosa scriviamo la funzione [[Tangente (trigonometria)|tangente]] come rapporto tra il seno ed il coseno: :<math>\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math> :Ora è possibile utilizzare la derivata del rapporto di due funzioni: <br> :<math>\mathrm{D}\!\!\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)=\frac{\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}</math>
<br>
:A questo punto si può sviluppare il rapporto in due modi:<br>
:<math>\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}</math><br>
:<math>\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)</math><br>
}}
*<math>\mathrm{D}( \cot x ) = -(1+\cot^2 x) = -\frac 1{\sin^2 x} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \sec x )= \tan x \sec x \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \csc x )= -\cot x \csc x \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \arcsin x ) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \arccos x ) = -\frac 1{ \sqrt {1 - x^2}} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \arctan x ) = \frac 1 { 1 + x^2} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \arccot x )= {-1 \over 1 + x^2} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \arcsec x )= { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \arccsc x )= {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,</math>
;[[Funzioni iperboliche]]
*<math>\mathrm{D}( \sinh x ) = \cosh x \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \cosh x ) = \sinh x \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \tanh x ) = \frac 1 {\cosh^2 x} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{coth}
*<math>\mathrm{D}( \mbox{sech}\, x )= -\tanh x \;\mbox{sech}\, x \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{csch}\, x )= -\mbox{coth}\, x\; \mbox{csch}\, x \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{settsinh}\, x )= { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{settcosh}\, x )= {1 \over \sqrt{x^2 - 1}} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{settanh}\, x )= { 1 \over 1 - x^2} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{settcoth}\, x )= { 1 \over 1 - x^2} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{settsech}\, x )= {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \mbox{settcsch}\, x )= {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}} \,</math>
== Derivate di funzioni composte ==
*<math>\mathrm{D}( [f(x)]^n ) = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x) \,</math>
*<math>\mathrm{D}(\sqrt [n] {f(x)} ) = {1/n\cdot\ f'(x) \over \sqrt[n]{f(x)^{n-1}}} \,</math>
*<math>\mathrm{D}( \ln f(x) ) = {f'(x) \over f(x)} \,</math>
*<math>\mathrm{D}(\mathrm{e}^{f(x)}) = \mathrm{e}^{f(x)} \cdot f'(x) \,</math>
*<math>\mathrm{D}(a^{f(x)}) = a^{f(x)} \cdot f'(x) \cdot \ln a \,</math>
*<math>\mathrm{D}(\sin f(x)) = \cos f(x) \cdot f'(x)\,</math>
*<math>\mathrm{D}(\cos f(x)) = -\sin f(x) \cdot f'(x)\,</math>
*<math>D(\arctan f(x)) = {f'(x) \over 1 + [f(x)]^2 } \,</math>
*<math>D(f(x)^{g(x)}) = f(x)^{g(x)} \cdot \left\{ g'(x) \cdot \ln f(x) + g(x) \cdot {f'(x) \over f(x)} \right\}\, </math>
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