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Se ''R'' è un anello commutativo e ''P'' è un [[ideale (teoria degli anelli)|ideale]] in ''R'', allora l'[[anello quoziente]] ''R/P'' è un dominio integrale se e solo se ''P'' è un [[ideale primo]].
== Divisibilità, elementi primi e irriducibili ==
== Divisibility, prime and irreducible elements ==
IfSe ''a'' ande ''b'' aresono elementselementi ofdel thedominio integral domainintegrale ''R'', wediciamo say thatche ''a dividesdivide b'' oro ''a isè aun [[divisordivisore]] ofdi b'' oro ''b isè aun multiplemultiplo ofdi a'' if andse onlye ifsolo therese existsesiste anun elementelemento ''x'' in ''R'' suchstale thatche ''ax'' = ''b''.
IfSe ''a'' dividesdivide ''b'' ande ''b'' dividesdivide ''c'', thenallora ''a'' dividesdivide ''c''. IfSe ''a'' dividesdivide ''b'', thenallora ''a'' dividesdivide everyogni multiplemultiplo ofdi ''b''. IfSe ''a'' dividesdivide twodue elementselementi, thenallora ''a'' alsodivide dividesanche theirla sumloro andsomma differencee la loro differenza.
TheGli elementselementi whichche dividedividono 1 aresono calledchiamate thele ''unitsunità'' ofdi ''R''; thesequesti aresono preciselyprecisamente thegli invertibleelementi elementsinvertibili in ''R''. UnitsLe divideunità alldividono otherogni elementsaltro elemento.
IfSe ''a'' dividesdivide ''b'' ande ''b'' dividesdivide ''a'', thenallora wediciamo sayche ''a'' ande ''b'' aresono ''associatedelementi elementsassociati''. ''a'' ande ''b'' aresono associatedassociati ifse ande onlysolo ifse thereesiste existsuna a unitunità ''u'' suchtale thatche ''au'' = ''b''.
IfSe ''q'' isnon aè non-unituna unità, wediciamo say thatche ''q'' isè anun ''irreducibleelemento elementirriducibile'' ifse ''q'' cannotnon bepuò writtenessere asscritto acome productprodotto ofdi twodue non-unitsunità.
IfSe ''p'' isnon aè non-zero non-unitné una unità, wediciamo say thatche ''p'' isè aun ''primeelemento elementprimo'' ifse, wheneverogni volta che ''p'' dividesdivide aun productprodotto ''ab'', thenallora ''p'' dividesdivide eithero ''a'' oro ''b''.
ThisQuesto generalizesgeneralizza thela ordinarydefinizione definitionordinaria ofdi [[primenumero numberprimo]] in the ringnell'anello '''Z''', exceptsalvo thatper itil allowsfatto forche negativetiene primeconto elementsdegli elementi primi negativi. IfSe ''p'' isè aun primeelemento elementprimo, thenallora the principall'ideale idealprincipale (''p'') generatedgenerato byda ''p'' isè aun [[primeideale idealprimo]].
Ogni elemento primo è irriducibile (qui, per la prima volta, è necessario che ''R'' sia un dominio integrale), ma il contrario non è vero in tutti i domini integrali (è vero nei [[dominio a fattorizzazione unica|domini a fattorizzazione unica]], comunque).
Every prime element is irreducible (here, for the first time, we need ''R'' to be an integral domain), but the converse is not true in all integral domains (it is true in [[unique factorization domain]]s, however).
== Field of fractions ==
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