Funzione gamma incompleta: differenze tra le versioni
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:<math> \gamma(a,x)=a^{-1} x^{a} e^{-x} M(1,1+a,x) </math>
==Derivati==
La derivata della funzione gamma incompleta <math> \Gamma (a,x) </math> rispetto ad ''x''è ben nota. È semplicemente dato, integrando la sua definizione completa:
:<math>
\frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial x} = - x^{a-1} e^{-x}
</math>
La derivata rispetto al parametro ''a'' è dato da<ref>K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore y T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [http://www.springerlink.com/content/t7571u653t83037j/]
</ref>
:<math> \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial a} = \ln (x) \Gamma (a,x) + x ~T(3,a,x) </math>
e la derivata seconda è:
:<math> \frac{\partial^2 \Gamma (a,x) }{\partial a^2} = \ln^2 (x) \Gamma (a,x) + 2 x ~ ( \ln (x) ~ T(3,a,x) + T(4,a,x) ) </math>
dove la funzione "T(m,a,x)" è un caso speciale della funzione "Meijer G"
:<math> T(m,a,z) = G_{m-1, m}^{~m,~0} \left( x \left| \begin{array}{c} 0,0, \ldots 0 \\ -1, -1, \ldots, a-1, -1 \end{array} \right. \right) ~.
</math>
Questo caso partiolare è proprietà interne della fine del loro, dal momento che può esprimere ''tutte'' le derivate successive. In generale,
:<math> \frac{\partial^m \Gamma (a,x) }{\partial a^m} = \ln^m (x) \Gamma (a,x) + m x ~ \sum_{i=0}^{m-1} P_i^{m-1} \ln^{m-i-1} (x) ~ T(3+i,a,x) </math>
dove
:<math>
P_j^i = \left( \begin{array}{l} i \\ j \end{array} \right) j! = \frac{i!}{(i-j)!} ~ .
</math>
Tutti questi derivati può essere prodotto da:
:<math> \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial a} = \ln (x) ~ T(m,a,x) + (m-1) T(m+1,a,x) </math>
e
:<math> \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} (T(m-1,a,x) + T(m,a,x)) </math>
Questa funzione ''T(m,a,x)'' può essere calcolata con la sua rappresentazione standard, a condizione che: <math> |z| < 1 </math>,
:<math> T(m,a,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left. (\Gamma (a-t) z^{t-1} ) \right]_{t=0} + \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i z^{a-1+i}}{i! (-a-i)^{m-1} } </math>
e se il parametro non è un numero intero negativo o pari a zero. In quest'ultimo caso, utilizzare un limite. Risultati <math> |z| \ge 1 </math> Può essere ottenuta con [[Prolungamento analitico|prolungamento analitico]]. Alcuni casi particolari di questa funzione può essere semplificata. Per esempio,
:<math> T(2,a,x) = \frac{\Gamma(a,x)}{x} </math>
:<math> x ~ T(3,1,x) = E_1 (x) </math>
dove <math> E_1 (x) </math> è la funzione integrale esponenziale. Derivati e la funzione es la función exponencial integral. Los derivados y la función ''T(m,a,x)'' per fornire soluzioni esatte ad un certo numero di integrali di differenziazione ripetuta della definizione completa della funzione gamma incompleta <math> \Gamma (a,x) </math>. Per esempio,
:<math>
\int_{x}^{\infty} t^{a-1} \ln^m (t) ~ e^{-t} = \frac{\partial^m}{\partial a^m} \int_{x}^{\infty} t^{a-1} e^{-t} = \frac{\partial^m}{\partial a^m} \Gamma (a,x)
</math>
Questa formula può "gonfiare" o generalizzato a una classe di grandi dimensioni della [[Trasformata di Laplace|trasformata di Laplace]] o di [[Trasformata di Mellin|Mellin]]. Quando combinato con un [[Sistema di algebra computazionale|sistema di algebra computazionale]], il funzionamento delle funzioni speciali fornisce un potente metodo per risolvere integrali definiti, in particolare quelli affrontati dai tecnici nelle applicazioni pratiche. Questo metodo è stato inventato dal sistema [[Maple|Maple]]<ref>K.O. Geddes e T.C. Scott, ''Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms'', Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 Giugno 1989), editado por E. Kaltofen e S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=93094]</ref> e in seguito imitato da [[Mathematica]], MuPAD e altri sistemi. La funzione "T(m,a,x)" è stato conosciuto nel gruppo di ricerca in funzione di Scott-G.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
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