Secondo teorema di König: differenze tra le versioni
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In [[meccanica razionale]], il '''secondo teorema di [[Johann_Samuel_König|König]]''' ([[1751]]) afferma che
l'energia cinetica totale di un sistema di punti materiali {('''r'''<sub>''i''</sub>, ''m<sub>i</sub>'')}<sub>''i''∈''I''</sub>, ove ('''r'''<sub>''i''</sub>, ''m<sub>i</sub>'') ∈ IR<sup>3</sup> × IR è una coppia posizione-massa e ''I'' un sottoinsieme di indici dei naturali, rispetto ad un dato sistema di riferimento (''O'', '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>) è la somma:
:<math> T =
ove ''E''<sub>CM</sub> è l'energia cinetica di traslazione del "centro di massa" (quella che avrebbe un corpo di massa pari a quella totale del sistema, con la velocità propria del centro di massa), ed ''E' ''l'energia cinetica rispetto ad un riferimento con origine nel baricentro e assi invariabili rispetto al riferimento (''O'', '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>)
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Ponendo
:<math>
e
:<math>
ove ''M'' è la massa totale di tutti i punti materiali, e notando che, per definizione di centro di massa,
:<math>\sum_im_i \mathbf v'_i = 0,</math>
risulta quindi
:<math> T =
come volevasi dimostrare.
==Corpo rigido==
Per un [[corpo rigido]], il termine che viene sommato all'energia del centro di massa rappresenta l'energia di rotazione attorno all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa.
:<math> T = \frac 12 M v_\text{CM}^2 + \sum_n \frac{1}{2} m_i {\boldsymbol \omega \times \mathbf r}^2 = \frac 12 M v_\text{CM}^2 + \frac 12 \omega_i (\sum_j \sum_n \frac{1}{2} m_n \mathbf r^2)_ij \omega_j) = \frac 12 M v_\text{CM}^2 + \frac 12 \boldsymbol \omega \cdot (\mathbf I \boldsymbol \omega_j) </math>
Globalmente l'energia cinetica assume quindi la forma:
:<math>E = \frac{1}{2} M v^2_\text{CM} + \frac{1}{2} \boldsymbol\omega \mathbf I_\text{CM}\boldsymbol\omega</math>
dove ''M'' è la massa totale, ''v''<sub>CM</sub> è il modulo della velocità del centro di massa, '''I'''<sub>CM</sub> il [[tensore di inerzia]] del corpo rispetto al centro di massa e la velocità angolare '''ω'''.
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