Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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* Eliminando (P4), un modello è fornito dalle [[aritmetica modulare|classi di resto modulo ''n'']] con la funzione successore data da <math>n \mapsto n+1</math> (mod <math>m</math>).
* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i [[numero razionale|razionali]] positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, mantenendo <math>0</math> e lasciando come funzione successore l'usuale <math>n \mapsto n+1</math>.
 
== Le definizioni delle operazioni in N ==
 
Le operazioni aritmetiche in N sono l'addizione e la moltiplicazione. Infatti queste sono le uniche due operazioni aritmetiche rispetto alle quali l'insieme N è ''chiuso'', il che significa che applicando questi due algoritmi a elementi del sistema si ottengono sempre altri elementi appartenenti al sistema. Addizione e moltiplicazione non vengono considerate da Peano concetti primitivi, in quanto possono essere definite a partire da questi.
 
=== Definizione di addizione ===
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">
:(A1) <math>\ x + 0 = x</math>
:(A2) <math>\ x + S(y) = S(x + y)</math>
</blockquote>
 
=== Definizione di moltiplicazione ===
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">
:(M1) <math>x \cdot 0 = 0</math>
:(M2) <math>x \cdot S(y) = (x \cdot y) + x</math>
</blockquote>
 
=== Carattere ricorsivo delle definizioni ===
 
Le definizioni di addizione e moltiplicazione potrebbero apparire circolari, in quanto il ''definiendum'' compare nel ''definiens''. In altri termini, le operazioni di addizione e moltiplicazione, che sono ciò che si vuole definire, ricorrono nella definizione. La circolarità della definizione viene però in ambedue i casi evitata in quanto si tratta di definizioni ricorsive: in altri termini, la definizione è tale da rimandare sempre a casi più semplici, i quali o sono immediatamente definiti o rimandano a loro volta ad un caso ancora più semplice. Per essere corrette le definizioni ricorsive devono però evitare anche un regresso all’infinito, ossia devono poter rimandare, in un numero finito di passaggi, ad una situazione immediatamente definita.
 
 
Supponiamo di voler calcolare la somma di 3 + 2. In virtù di A2 possiamo sapere che:
 
<math>\ 3 + 2 = 3 + S(1) = S(3 + 1)</math>
 
Reiteriamo il medesimo procedimento all’interno della parentesi:
 
<math>\ S(3 + 1) = S(3 + S(0)) = S(S(3 + 0))</math>
 
La situazione dentro la parentesi è ora immediatamente definita da A1:
 
<math>\ S(S(3 + 0)) = S(S(3))</math>
 
Si ha così una composizione di funzioni in cui dobbiamo applicare la funzione ''S'' al risultato di ''S''(3):
 
<math>\ S(S(3)) = S(4) = 5</math>
 
 
Supponiamo ora di voler calcolare il prodotto di 3 · 2. Dato M2 possiamo sapere che:
 
<math>3 \cdot 2 = 3 \cdot S(1) = (3 \cdot 1) + 3</math>
 
Reiteriamo lo stesso procedimento all’interno della parentesi:
 
<math>(3\cdot 1) + 3 = (3\cdot S(0)) + 3 = ((3\cdot0) + 3) + 3</math>
 
Il prodotto dentro la parentesi è immediatamente definito da M1:
 
<math>((3\cdot0) + 3) + 3 = ((0) + 3) + 3</math>
 
Ora possiamo svolgere i restanti calcoli applicando l’addizione nel modo tradizionale, in quanto è già definita:
 
<math>\ ((0) + 3) + 3 = (3) + 3 = 6</math>
 
 
Addizione e moltiplicazione sono dunque state definite facendo ricorso esclusivamente ad elementi già precedentemente definiti nel sistema. Per risolvere 3 + 2 non abbiamo fatto altro che applicare le definizioni A1 e A2, oltre che la funzione ''S'', a sua volta già definita da P2. Per risolvere 3 · 2 non abbiamo fatto altro che applicare le definizioni M1 e M2 e l’addizione, che era già stata definita da A1, A2 e ''S''.
 
== Ruolo nella logica matematica ==
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