Forma di Nielsen: differenze tra le versioni
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La '''Forma di [[Jakob Nielsen (matematico)|Nielsen]]''' è una rappresentazione alternativa delle [[equazioni di Lagrange]] del I tipo, che vengono scritte come
:<math>
{\partial{
</math>
La dimostrazione dell'equivalenza si ottiene utilizzando la [[regola della catena]]. Infatti, detta <math> \delta_{ij} </math> la [[delta di Kronecker]], dalle equazioni di Lagrange del I tipo:
utilizzando le relazioni:
▲ Q_j = {\partial{\dot T}\over \partial{\dot q_j}}-2{\partial{T}\over \partial q_j}
▲& = & {\partial \over \partial \dot q_j} \sum_{i} \left [ {\partial T \over \partial q_i}\dot q_i + {\partial T \over \partial \dot q_i}\ddot q_i \right ]-2{\partial{T}\over \partial q_j}\\
▲& = & \sum_{i} \left [ {\partial \over \partial \dot q_j} \left({\partial T \over \partial q_i}\right) \dot q_i + {\partial T \over \partial q_i} \delta_{ij} + {\partial \over \partial \dot q_j} \left({\partial T \over \partial \dot q_i}\right) \ddot q_i + {\partial T \over \partial \dot q_i} {\partial \dot q_i \over \partial \dot q_j} \right ] -2{\partial{T}\over \partial q_j}\\
▲& = & \sum_{i} \left [ {\partial \over \partial \dot q_j} \left({\partial T \over \partial q_i}\right) \dot q_i + {\partial \over \partial \dot q_j} \left({\partial T \over \partial \dot q_i}\right) \ddot q_i \right ] + {\partial T \over \partial q_j} -2{\partial{T}\over \partial q_j}\\
▲& = & \sum_{i} \left [ {\partial \over \partial q_i} {\partial T \over \partial \dot q_j} \dot q_i + {\partial \over \partial \dot q_i} {\partial T \over \partial \dot q_j}\ddot q_i \right ] -{\partial{T}\over \partial q_j}\\
▲& = & {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t} \left( {\partial T \over \partial \dot q_j} \right) -{\partial T \over \partial q_j}\\
<math> {\partial \ddot q_i \over \partial \dot q_i} = 0</math>
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