Metodo delle caratteristiche: differenze tra le versioni

:<math>(\partial_t +av\partial_x)u(x,t)=0</math>

Per semplicità supporremo <math>av</math> costante. Per inciso, quest'equazione esprime il bilancio della quantità rappresentata da ''u''. Integrando infatti nella variabile ''x'' e supponendo ''u'' almeno di classe <math>C^{1}</math> rispetto al tempo in modo da poter scambiare derivata e integrale, si ottiene che la variazione nel tempo dell'integrale di ''u'' è eguagliata dal flusso netto di ''u'' agli estremi del dominio:

:<math>\frac{d}{dt}\int_{x_1}^{x_2}u=av\left( u(x_1)- u(x_2) \right).</math>

:<math>(\partial_t +av\partial_\phi )u(\phi (t),t)=(\frac{d}{dt}+\left[ av-\frac{d\phi}{dt}\right] \partial_\phi)u(\phi (t),t)</math>

\frac{d\,\phi(t)}{dt} = av\,\! \end{cases}</math>

Abbiamo quindi trasformato un problema alle derivate parziali in un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Le soluzioni <math>\phi(t)</math> si dicono ''caratteristiche'': in virtù della prima equazione le curve <math>x=\phi(t)</math> sono quelle curve lungo le quali la funzione ''u'' è costante. In questo caso le caratteristiche sono molto semplici da trovare, dato che una generica soluzione della seconda equazione è un fascio di rette <math>\phi(t) = x_0 +av(t-t_0)</math>. Dato che su queste rette la soluzione non varia, volendo sapere il valore di <math>u(x,t)</math>, basterà risalire la caratteristica passante per quel punto, fino ad incontrare un pezzo di bordo su cui sia assegnata o una condizione al contorno o un dato iniziale. Se supponiamo il problema definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>, occorre risalire la caratteristica fino al tempo in cui è assegnato il dato iniziale <math>g(x)</math>. Quindi, se <math>t_0=0</math>, abbiamo

:<math>u(x,t)=u(x-atvt,0)=g(x-atvt) \ </math>

La soluzione è dunque un'onda viaggiante di velocità a''v'' nel verso positivo (negativo) dell'asse delle x se a è positivo (negativo). Notiamo che il dato iniziale è trasportato ''rigidamente'' e che dunque ogni quantità si conserva. In particolare, se il dato iniziale è di classe <math>C^k</math>, ad ogni tempo <math>t_1>0</math>, <math>u(x,t_1)</math> sarà di classe <math>C^k</math>.