Composizione di operatori momento angolare: differenze tra le versioni
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La '''composizione dei momenti angolari''' è una procedura della [[meccanica quantistica]] atta a definire la relazione tra gli autostati e gli autovalori di due o più momenti angolari, siano essi [[Momento angolare orbitale|orbitali]] o [[Spin|intrinseci]], e quelli della loro somma.
== Introduzione ==
{{Vedi anche|Momento angolare totale}}
Sappiamo dalla teoria generale del momento angolare totale che, dato <math>\hat {\mathbf{J}}</math> momento angolare, le regole di commutazione per le sue componenti sono:
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:<math>[\hat J_{i} , \hat J_{j}] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat J_{k} </math>
<math>\hat {\mathbf{J}}_{1}^{2} , \hat {\mathbf{J}}_{2}^{2},
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:<math>\hat J_{2z} |j_1 , j_2 , m_{1}, m_{2} \rangle = m_{2} \hbar |j_1 , j_2 , m_{1}, m_{2} \rangle</math>
Possiamo in alternativa scegliere la base in cui sono diagonali <math>\hat {\mathbf{J}}_{1}^{2} , \hat {\mathbf{J}}_{2}^{2}, \hat {\mathbf{J}}^2, \hat J_{z}</math> che identifichiamo con i vettori di base:
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:<math>\hat J_{z} |j_1 , j_2 , J , M \rangle = M \hbar |j_1 , j_2 , J , M \rangle</math>
dove si sono indicati con <math>j_1 , j_2</math> gli autovalori di <math>\hat {\mathbf{J}}_1 , \hat {\mathbf{J}}_2</math> e con <math>m_1, m_2</math> gli autovalori di <math>\hat J_{1z}, \hat J_{2z}</math>, mentre con <math>J</math> si è indicato l'autovalore di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> e con <math>M</math> l'autovalore della sua proiezione sull'asse ''z'': <math>\hat J_z</math>.
Entrambe sono basi complete dello spazio di Hilbert. Ovvero ogni stato può essere rappresentato sia da una combinazione lineare degli elementi della prima base che da una di quelli della seconda base.
Il passaggio da una base all'altra è determinato dai [[coefficienti di Clebsch-Gordan]].
D'ora in poi si considerino fissati i valori <math> j_1 </math> e <math> j_2 </math> legati al modulo dei due momenti angolari. Saranno liberi invece i valori delle loro proiezioni sull'asse z. Le due basi, accoppiata e disaccoppiata, possono essere quindi scritte in modo più sintetico:
:<math> |J , M \rangle _A </math>
:<math> |m_1 , m_2 \rangle _D </math>
=== Dimensione dell'autospazio ===
Dalla teoria del momento angolare sappiamo che il numero totale degli stati (sia in una rappresentazione che nell'altra) è:
Inoltre è evidente che gli stati della base disaccoppiata siano anche autostati di <math>\hat J_z </math> con autovalore
:<math> M = m_1 + m_2 </math>
:<math> \hat J_z|m_1 , m_2 \rangle _D = (\hat J_{1z} + \hat J_{2z}) |m_1 , m_2 \rangle _D = \hbar (m_1 +m_2 ) |m_1 , m_2 \rangle _D = \hbar M |m_1 , m_2 \rangle _D </math>
Quindi anche il sottospazio in cui la terza componente vale M deve avere la stessa dimensione in entrambe le rappresentazioni.
=== Trattazione formale ===
Si procede analizzando uno a uno gli autospazi di <math> \hat J_z </math>
Fissati i valori dei due momenti angolari il valore massimo della terza componente deve necessariamente valere:
:<math> M = m_{1,max} + m_{2,max} = j_1 + j_2 </math>
Resta da determinare il valore del modulo del momento totale. Questo però deve essere necessariamente uno stato di massima terza componente. Se non lo fosse infatti, tramite l'operatore di salita potrei costruire uno stato con terza componente inaccettabile. Quindi:
:<math> |j_1 , j_2 \rangle _D = |j_1 + j_2 , j_1 + j_2 \rangle _A </math>
Tramite l'operatore di discesa ora possiamo produrre uno stato con terza componente abbassata di uno.
:<math> |j_1 + j_2 , j_1 + j_2 - 1 \rangle _A </math>
di stati di questo tipo però nella base disaccoppiata ne abbiamo due:
:<math> |j_1 - 1 , j_2 \rangle _D </math>
:<math> |j_1 , j_2 - 1 \rangle _D </math>
Manca quindi uno stato. Questo però deve essere uno stato di massima terza componente per non produrre una catena di salita inaccettabile
:<math> |j_1 + j_2 - 1 , j_1 + j_2 - 1 \rangle _A </math>
La procedura può essere iterata, tenendo conto però che dal valore
:<math> M = | j_1 - j_2 | </math>
la dimensione dell'autospazio cessa ci crescere fino a che M non raggiunge il valore nullo.
Per valori negativi lo schema è speculare.
In definitiva, fissati <math>j_1</math> e <math>j_2</math>, tutti i valori che J può assumere sono
:<math> J = | j_1 - j_2 |, | j_1 - j_2 | + 1, ... j_1 + j_2 </math>
e per ciascuno di questi abbiamo tutti i possibili valori di M
▲:<math>N = (2 j_{1} + 1)(2 j_{2} + 1) \ </math>
Cominciamo a osservare che nella base <math>|j_1 , j_2 , m_{1} , m_{2} \rangle</math> il valore massimo dei due momenti è ovviamente in analogia al momento angolare totale:
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