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La '''composizione dei momenti angolari''' è una procedura della [[meccanica quantistica]] atta a definire la relazione tra gli autostati e gli autovalori di due o più momenti angolari, siano essi [[Momento angolare orbitale|orbitali]] o [[Spin|intrinseci]], e quelli della loro somma.
== Introduzione ==
=== Trattazione formale ===
Si procede analizzando uno a uno gli autospazi di <math> \hat J_z </math>
:<math> M = -J, -J + 1, ... J </math>
Cominciamo a osservare che nella base <math>|j_1 , j_2 , m_{1} , m_{2} \rangle</math> il valore massimo dei due momenti è ovviamente in analogia al momento angolare totale:
:<math>J = j_1 + j_2 \ </math>
infatti il valore massimo di <math>J</math> è quello in cui <math>j_1</math> assume il valore della proiezione del momento angolare <math>m_{1}</math>:
:<math>j_1 \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, m_{1}</math>
e analogamente:
:<math>j_2 \, \, \, \leftrightarrow \, \, \, m_{2}</math>
rappresentano '''uno stato''' determinato da:
:<math>|j_1 , j_2 , j_1, j_2 \rangle</math>
nella seconda base è determinato dallo stato:
:<math>|j_1 , j_2 , J = j_1 + j_2 , M = m_{1} + m_{2} = j_1 + j_2 \rangle</math>
Ora scaliamo i valori di <math>M = m_{1} + m_{2}</math> di 1. A questo valore di <math>M = m_{1} + m_{2} - 1</math> corrispondono '''due stati''' infatti:
:<math>|j_1 , j_2 , J, M \rangle</math>
possiede due stati dati da:
:<math>|j_1 , j_2, J = j_1 + j_2, M = j_1 + j_2 -1\rangle</math>
:<math>|j_1 , j_2, J = j_1 + j_2 - 1, M = j_1 + j_2 -1\rangle</math>
Scaliamo nuovamente <math>M</math> di 1. A questo valore di <math>M = m_{1} + m_{2} - 2</math> corrispondono '''tre stati''', quindi lo stato:
:<math>|j_1 , j_2 , J, M \rangle</math>
possiede tre stati nella base <math>|j_1 , j_2 , m_{1}, m_{2} \rangle</math> dati da:
:<math>|j_1 , j_2, J = j_1 + j_2, M = j_1 + j_2 - 2 \rangle</math>
:<math>|j_1 , j_2, J = j_1 + j_2 - 1, M = j_1 + j_2 - 2 \rangle</math>
:<math>|j_1 , j_2, J= j_1 + j_2 - 2, M = j_1 + j_2 - 2 \rangle</math>
seguendo questo schema che possiamo rappresentare più chiaramente con:
{| border=1
! <math>j_{1}</math> !! <math>j_{2}</math> !! <math>M = m_1 + m_2</math>
|-
| <math>j_1</math> || <math>j_2</math> || <math>j_1 + j_2</math>
|-
| <math>j_1</math> || <math>j_2 - 1</math> || <math>j_1 + j_2 - 1</math>
|-
| <math>j_1 - 1</math> || <math>j_2</math> || <math>j_1 + j_2 - 1</math>
|-
| <math>j_1 - 1</math> || <math>j_2 - 1</math> || <math>j_1 + j_2 - 2</math>
|-
| <math>j_1</math> || <math>j_2 - 2</math> || <math>j_1 + j_2 - 2</math>
|-
| <math>j_1 - 2</math> || <math>j_2</math> || <math>j_1 + j_2 - 2</math>
|-
| <math>\dots</math> || <math>\dots</math> || <math>\dots</math>
|}
Continuando in questo modo si vede che il valore minimo possibile di <math>J</math> è <math>|j_1 - j_2|</math>.
Per dati <math>j_1 , j_2</math> si hanno allora i valori di J:
:<math>J = j_1 + j_2 , j_1 + j_2 -1 , j_1 + j_2 - 2, \dots , |j_1 - j_2|</math>
in tutto <math>(2j_1 + 1)(2 j_2 + 1)</math> valori.
Poniamo il caso che <math>j_1 = j_2 = 1</math> allora in base a quanto detto ci sono in tutto 9 stati con:
:<math>J = 2 , 1 , 0 \ </math>
esattamente 5 stati con <math>J=2</math>, 3 stati con<math>J=1</math> e 1 stato con <math>J=0</math> ( essendo la molteplicità di ogni stato data da 2J + 1 ).
== Composizione di due momenti angolari di spin ==
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