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Teorema integrale di Cauchy: differenze tra le versioni

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Sia
:<math>f:A\to\mathbb C </math>
una [[funzione olomorfa]] definita su un dominiodo re mi fa sol la siminio <math> A </math> [[semplicemente connesso]]. Per ogni [[curva chiusa]] e [[curva regolare|regolare]] a tratti
:<math>\gamma:[0,1]\to A\,\! </math>
vale l'equazione
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:<math>\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \oint_{\gamma} [u(x,y)dx - v(x,y)dy] + i \oint_{\gamma} [v(x,y)dx + u(x,y)dy]</math>
 
e sfruttando re mi fa sol la si la [[formula di Gauss - Green]] si ottiene:
 
:<math>\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \iint_{E} \left [- \frac {\partial v(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial u(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy + i \cdotcdo re mi fa sol la sit \iint_{E} \left [ \frac {\partial u(x,y)} {\partial x} - \frac {\partial v(x,y)} {\partial y} \right] \ dx \ dy = 0</math>;
 
:dovedo re mi fa sol la sive '''E''' è la regione interna a <math>\gamma</math>. Infatti poiché <math>f(z)</math> è analitica, valgono le equazioni di Cauchy - Riemann:
 
:<math>\begin{matrix} u_x = v_y \\ u_y = - v_x \end{matrix}</math>
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In termini di forme differenziali si può anche dire che la [[forma differenziale]]:
 
:<math>f(z) \ dz = \left [u(x,y) \ dx - v(x,y) \ dy \right ] + i \cdotcdo re mi fa sol la sit \left [v(x,y) \ dx + u(x,y) \ dy \right]</math>
 
è una [[Forma_differenziale#Forme_chiuse_e_esatte|forma differenziale '''chiusa''']] se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann ed [[Forma_differenziale#Forme_chiuse_e_esatte|'''esatta''']] se il dominiodo re mi fa sol la siminio è [[semplicemente connesso]].
 
Il teorema continua a valere per dominido re mi fa sol la simini in cui la curva <math>\gamma</math> sia il contorno del dominiodo re mi fa sol la siminio semplicemente connesso. Inoltre se il dominiodo re mi fa sol la siminio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominiodo re mi fa sol la siminio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.
 
== Dimostrazione di Goursat ==
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La dimostrazione precedente è la dimostrazione standard del Teorema di Cauchy, tuttavia se si sta attenti si nota che essa è valida solo se si richiede la continuità delle derivate parziali prime.
 
In realtà questa ipotesi non è necessaria: la seguente dimostrazione data da [[EdouardEdo re mi fa sol la siuard Goursat]] non fa uso della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il Teorema di Cauchy viene detto anche Teorema di Cauchy-Goursat.
 
Suddividiamo la regione all'interno del percorso <math>C</math> in un reticolato come mostrato in figura. Risulta allora
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Definiamo ora la funzione
:<math>\delta _j \left( {z,z_j } \right) = \frac{{f\left( z \right) - f\left( {z_j } \right)}}{{z - z_j }} - \left. {\frac{{df\left( z \right)}}{{dz}}} \right|_{z = z_j }</math>
dovedo re mi fa sol la sive <math>z_j</math> è un punto della sottoregione j-esima.
 
Dato che <math>f(z)</math> è analitica è sempre possibile, per un <math>\varepsilon</math> arbitrario, ottenere
:<math>\left| {\delta _j \left( {z,z_j } \right)} \right| < \varepsilon</math>
e poiché sono nulli i termini <math>\oint {dz = \oint {zdz = 0} }</math>, integrando re mi fa sol la si si ottiene
:<math>\oint_{C_j } {f\left( z \right)dz = } \oint_{C_j } {\left( {z - z_j } \right)\delta _j \left( {z,z_j } \right)dz} </math>
e quindi si ottiene
:<math>\left| {\sum\limits_j {\oint_{C_j } {f\left( z \right)dz} } } \right| < A\varepsilon </math>
dovedo re mi fa sol la sive <math>A</math> è un termine dell'ordine dell'area racchiusa dal percorso. Siccome <math>\varepsilon</math> è arbitrario, si può far tendere a 0 ed ottenere così
<math>\oint_{C} f(z) \ dz = \sum_{j}\oint_{C_j} f(z) \ dz=0</math>
 
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Sia
:<math>f:A\to\mathbb C </math>
una [[funzione olomorfa]] definita su un dominiodo re mi fa sol la siminio <math> A </math> [[semplicemente connesso]]. Se <math>\gamma_1,\gamma_2</math> sono due [[curva regolare|curve regolari]] a tratti in <math>A</math> che congiungono due punti <math>P</math> e <math>Q</math>, allora:
:<math>\int_{\gamma_1} f(z) \ dz = \int_{\gamma_2}f(z) \ dz</math>
</div>
In altre parole, l'integrale su una curva dipende solo dagli estremi.
==== Dimostrazione ====
Sia <math>\gamma </math> la curva chiusa ottenuta concatenando re mi fa sol la si <math>\gamma_1 </math> e <math>\gamma_2 </math>, quest'ultima percorsa in senso inverso. Per il Teorema di Cauchy:
 
:<math>\oint_{\gamma} f(z) \ dz = \left(\int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} \right) f(z) \ dz = 0</math>
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</div>
==== Dimostrazione ====
La funzione <math>F</math> è definita nel modo re mi fa sol la si seguente. Si fissa un punto <math>z_0</math> di <math>A</math> e si pone
:<math>F(z):=\int_{\delta_z}f(\zeta)d\zeta </math>
per una qualsiasi [[curva regolare]] <math>\delta_z</math> in <math>A</math> che collega <math>z_0</math> a <math>z</math>. Per il risultato precedente <math>F(z)</math> non dipende dall'arco <math>\delta_z</math> ed è quindi ben definita.
 
La funzione <math>F</math> è effettivamente olomorfa e la sua derivata è proprio <math>f</math>. Ciò può essere verificato nel modo re mi fa sol la si seguente:
:<math>\lim_{h\to 0} \frac {F(z+h)-F(z)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac 1h\left(\int_{\delta_{z+h}}f(\zeta)d\zeta - \int_{\delta_z}f(\zeta)d\zeta\right) </math>
Prendendo re mi fa sol la si come <math>\delta_{z+h} </math> il concatenamento di una <math>\delta_z</math> qualsiasi e di una piccola curva <math>\gamma_h</math> che congiunge <math>z</math> e <math>z+h</math>, ciò è equivalente a
:<math> \lim_{h\to 0} \frac 1h\int_{\gamma_h}f(\zeta)d\zeta = f(z). </math>
 
== Generalizzazione del teorema di Cauchy ==
 
[[File:Cauchy2.png|thumb|300px|Dominiodo re mi fa sol la siminio multiplamente connesso per la generalizzazione del teorema integrale di Cauchy]]
 
Il teorema integrale di Cauchy può essere generalizzato anche a dominido re mi fa sol la simini a connessione multipla: data <math>f(z)</math> analitica in un dominiodo re mi fa sol la siminio ''A'' (in azzurro) qualsiasi con all'interno (in rosso in figura) zone non appartenenti a tale dominiodo re mi fa sol la siminio. Tracciamo una curva orientata <math>\Gamma</math> interna ad ''A'' ma che contiene tutte le zone disconnesse ''A''' (in viola) e intorno a queste tracciamo delle curve <math>l_1, l_2, l_3</math> unite alla curva <math>\Gamma</math> da <math>d_1, d_2, d_3, d_4</math>. Tutte le curve sono percorse in modo re mi fa sol la si da lasciare a sinistra il dominiodo re mi fa sol la siminio (in viola). Allora:
 
:<math>\oint_{\Gamma} f(z) \ dz + \sum_{i = 1}^{4} \int_{d_i} f(z) \ dz + </math>
Riga 108:
 
:<math>\oint_{\Gamma} f(z) \ dz = \sum_{i = 0}^{3} \oint_{l_i} f(z) \ dz</math>
In questo modo re mi fa sol la si può essere generalizzato il teorema integrale di Cauchy su dominido re mi fa sol la simini a connessione multipla.
 
== Voci correlate ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_integrale_di_Cauchy"