Teorema di Helmholtz: differenze tra le versioni
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1) il [[campo vettoriale]] '''A''' è completamente determinato dalla sua [[divergenza]] e dal suo [[rotore (matematica)|rotore]] e vale:
:<math>\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; \operatorname dV} +\frac{1}{4\pi} \, \int_V{ \frac{\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'}))} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \; \operatorname dV} </math>
2) il [[campo vettoriale]] '''A''' può essere espresso come somma di un [[campo vettoriale irrotazionale]] e di un [[campo vettoriale solenoidale]], di cui il primo è completamente determinato dalla [[divergenza]] e il secondo dal [[rotore (matematica)|rotore]]:
:<math>\mathbf{A} (\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \, \nabla \left(\int_V{ \frac{\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, \operatorname dV} \right) +\frac{1}{4\pi} \, \nabla \times \left( \int_V{ \frac{\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x'})} {\left| \mathbf{x} - \mathbf{x'} \right|} \, \operatorname dV} \right) </math>
È bene tener presente che l'operatore [[nabla]] agisce rispetto alle coordinate '''x'''' all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate '''x''' all'esterno e che l'integrazione avviene sulle coordinate '''x''''.
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