Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: differenze tra le versioni

Una volta assicurata la buona definizione di <math>F</math> è sufficiente dimostrare che questa è una [[contrazione (spazio metrico)|contrazione]] su <math>B</math> per completare il teorema. Il [[teorema delle contrazioni]] infatti ci assicura l'esistenza di un unico [[punto fisso]] (o punto unito) di <math>F</math> in <math>B</math>, quindi nel nostro caso di una funzione <math>y = y(x)</math> tale che <math>F(y) = y</math>, cioè

:<math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))\mathrm{d}t</math>

 

:<math>\begin{align}|F(y_1)-F(y_2)| &= \left|\int_{x_0}^x[f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))\mathrm{d}t]\right|\le \left|\int_{x_0}^x|f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\mathrm{d}t\right| \\