Integrale di Gauss: differenze tra le versioni
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:<math>I^2 = \frac \pi 2 \int_0^\infty {\rho e^{-\rho^2} d\rho} = \frac \pi 4 \int_0^\infty {e^{-u}du} = \frac \pi 4 </math>
Dato che l'esponenziale è sempre positivo, anche '''I''' lo è, ed estraendo la radice quadrata otteniamo il risultato cercato.
Vediamo anche come ottenere la formula risolutiva per un integrale del tipo:
:<math>I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 + \beta x} dx</math>
Il trucco è di riscrivere il termine all'esponenziale come il termine di un quadrato:
:<math>-\alpha x^2 + \beta x = -[\sqrt{\alpha}x + \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}]^2 + \frac{\beta^2}{4\alpha} </math>
Non abbiamo fatto altro che utilizzare una manipolazione di riscrittura algebrica (facendo i calcoli, tornerà il membro originale all'esponente).
Ora basta sostituire e si ha:
:<math>I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{\beta^2}{4\alpha} - [\sqrt{\alpha}x + \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}]^2} dx </math>
Dal momento che il primo membro dell'esponenziale non dipende da x, può essere portato fuori, in tal modo:
:<math>I = e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-[\sqrt{\alpha}x + \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}}]^2} dx </math>
L'integrale è immediato. Facciamo il cambio di variabile:
:<math> y = \sqrt{\alpha}x + \frac{\beta}{2\sqrt{\alpha}} </math>
:<math> dy = \sqrt{\alpha} dx </math> da cui :<math> dx = \frac{dy}{\sqrt{\alpha}} </math>
Ottenendo immediatamente:
:<math>I = e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-y^2}}{\sqrt{\alpha}} dy </math>
Che è un integrale Gaussiano banale. Il risultato è immediato.
:<math>I = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{-\frac{\beta^2}{4\alpha}} </math>
==Voci correlate==
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