Isometria del piano: differenze tra le versioni
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Descrizione formale |
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:* l'angolo formato da <math>a</math> e <math>b</math> sia <math>\theta/2</math>
:* l'ordine di composizione delle due simmetrie è dato dal senso in cui misuriamo gli angoli (ovvero solitamente antiorario)
== Descrizione formale ==▼
In quanto particolari [[trasformazione affine|trasformazioni affini]], le isometrie del piano possono essere rappresentate come moltiplicazione per una matrice seguita dalla somma di un vettore.
La generica rotazione con centro nell'origine e angolo <math>\theta</math> può essere rappresentata mediante una matrice,
:<math> Rot(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\▼
\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} ~,</math>▼
e similmente la generica riflessione con asse passante per l'origine e formante un angolo <math>\theta</math> con l'asse delle ascisse,
:<math> Ref(\theta) = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\▼
\sin 2 \theta & - \cos 2 \theta \end{bmatrix} ~.</math>▼
Infine, la generica traslazione può essere rappresentata dalla somma di un vettore, le cui due componenenti sono le componenti della traslazione lungo i due assi.
== Composizioni di rotazioni e riflessioni ==
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non è [[commutatività]]),
▲== Descrizione formale ==
Gli enunciati precedenti possono essere espressi in termini
più operativi.
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Denotiamo la riflessione rispetto alla retta ''L'' passante per ''O''
che forma un angolo ''θ'' rispetto all'asse ''Ox'' con ''Ref(θ)''.
▲:<math> Rot(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\
▲\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} ~,</math>
▲:<math> Ref(\theta) = \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\
▲\sin 2 \theta & - \cos 2 \theta \end{bmatrix} ~.</math>
Per le quattro composizioni delle suddette generiche rotazioni e riflessioni
si hanno le seguenti quattro espressioni:
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