Isometria del piano: differenze tra le versioni

 

Ricordando quindi che una traslazione composta ad una riflessione sarà invertente, mentre una traslazione composta ad una rotazione sarà non invertente, abbiamo che in entrambi i casi la traslazione ottenuta è necessariamente quella cercata.

 

=== Osservazione sulla generazione di isometrie ===

==== Non invertenti (tramite rotazioni) ====

Esiste un risultato più forte: le stesse traslazioni possono essere generate con la sola composizione di rotazioni, il che implica che le sole rotazioni generano tutte le isometrie non invertenti.

 

Supponiamo infatti di volere costruire la traslazione <math>T</math> di direzione <math>v</math> e modulo <math>M</math>. Sia <math>A</math> un punto qualsiasi, e <math>T(A)=A'</math> la sua immagine. Sarà sufficiente applicare due rotazioni <math>R, S</math> rispettivamente di centro <math>P, Q</math> ed angolo <math>\theta, \zeta</math>tali che:

Si può dimostrare un altro risultato interessante: ''le simmetrie assiali'' sono sufficienti per generare tutte le isometrie. Per dimostrarlo, è sufficiente dimostrare che qualsiasi traslazione e qualsiasi rotazione può essere generata tramite la composizione di simmetrie assiali.

 

# Traslazioni: supponiamo di volere costruire la traslazione di direzione <math>v</math> e modulo <math>M</math>. Sarà sufficiente applicare due riflessioni <math>R, S</math> di asse rispettivamente <math>a, b</math> tali che:

:* <math>a</math> e <math>b</math> siano entrambi [[perpendicolarità|perpendicolari]] a <math>v</math> (e quindi [[parallelismo (geometria)|paralleli]] tra di loro)

:* la distanza tra i due assi sia <math>M/2</math>

:* l'ordine di composizione delle due simmetrie è dato dal verso di <math>v</math>

# Rotazioni: supponiamo di volere costruire la rotazione di centro <math>P</math> e angolo <math>\theta</math>. Sarà sufficiente applicare due riflessioni <math>R, S</math> di asse rispettivamente <math>a, b</math> tali che:

:* <math>a</math> e <math>b</math> si [[Incidenza (geometria)|intersechino]] in <math>P</math>