Assioma (matematica): differenze tra le versioni

'''Assioma di istanziazione universale.''' Data una formula <math>\phi\,</math> in un linguaggio del primo ordine <math>\,\mathfrak{L}\,</math>, una variabile <math>\,x\,</math> e un termine <math>\,t\,</math> che risulta [[sostituibile]] per <math>\,x\,</math> in <math>\,\phi\,</math>, la formula

Questo assioma stabilisce semplicemente che se sappiamo che <math>\,\forall x P(x)\,</math> per qualche proprietà <math>\,P\,</math> e <math>\,t\,</math> è un particolare ''termine'' nel linguaggio (cioè rappresenta un particolare ''oggetto'' nella struttura che stiamo trattando), allora dovremo essere in grado di affermare <math>\,P(t)\,</math>.

'''Assioma di generalizzazione esistenziale.''' Data una formula <math>\,\phi\,</math> in un linguaggio del primo ordine <math>\,\mathfrak{L}\,</math>, una variabile <math>\,x\,</math> e un termine <math>\,t\,</math> che è [[sostituibile]] per <math>\,x\,</math> in <math>\,\phi\,</math>, la formula

Esso adotta il linguaggio <math>\,\mathfrak{L}_{NT} = \{0, S\}\,</math> dove <math>\,0\,</math> è un simbolo costante e <math>\,S\,</math> una funzione univariata, ovvero un operatore unario. I postulati sono:

# <math>(\,(\phi(0) \land \forall x\,(\phi(x) \to \phi(Sx))\,) \to \forall x\,\phi(x)</math> per ogni formula <math>\,\phi\,</math> in <math>\,\mathfrak{L}_{NT}\,</math> contenente una variabile libera.

A tale sistema corrisponde una struttura standard <math>\,\mathfrak{N} = <\N, 0, S>\,</math> nella quale <math>\,\N\,</math> è interpretato come l'insieme dei numeri naturali, <math>\,S\,</math> come funzione successore e <math>\,0\,</math> è naturalmente interpretato come il numero 0.

I logici chiamano ''sistema deduttivo'' il complesso formale costituito da un sistema <math>\,\Lambda\,</math> di assiomi logici, da un sistema <math>\,\Sigma\,</math> di assiomi non-logici e da un insieme <math>\,\{(\Gamma, \phi)\}\,</math> di [[regola di inferenza|regole di inferenza]]. Si pone il problema di individuare tali sistemi. Il [[teorema di completezza|teorema di completezza di Gödel]] stabilisce che ogni sistema deduttivo con un sistema di assiomi non-logici [[Consistenza (logica matematica)|consistente]] è ''completo'',

Si osservi che la sottile differenza fra questo teorema e il successivo ugualmente celebre [[Teoremi di incompletezza di Gödel|primo teorema di incompletezza di Gödel]], che stabilisce che nessun [[insieme ricorsivo]] [[Consistenza (logica matematica)|consistente]] di assiomi non-logici <math>\Sigma</math> della Teoria dell'aritmetica è ''completo'', nel senso che esiste sempre un enunciato aritmetico vero <math>\,\phi\,</math> tale che né <math>\phi</math> né <math>\lnot\phi</math> possono essere dimostrati (il che è diverso dal dire che <math>\phi</math> viene dimostrato falso - semplicemente significa quello che dice, che non vi può essere una deduzione da <math>\Sigma</math> a <math>\lnot\phi</math>) ottenuta dal dato insieme di assiomi.