Matrice trasposta: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], l'operatore di '''trasposizione''', che si denota con un apice o con una ''T'' ad esponente, associa ad una [[matrice]] la sua relativa '''trasposta''', ovvero la matrice il cui generico elemento con indici (''i,j'') è l'elemento con indici (''j,i'') della matrice originaria. In simboli:
:<math>\left(A^T\right)_{ij} = A_{ji},\quad \forall A \in \mathbf{K}^{m,n}, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n
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8 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
== Proprietà ==
Se intendiamo la trasposta come una [[matrice di trasformazione]], notiamo che:
<math>\mathbf{K}: \mathbf{K}^{m,n} \to \mathbf{K}^{n,m}
cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.
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<ol>
<li>La trasposta della trasposta è la matrice stessa.
:<math>\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad
<li>La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.
:<math>(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T}
<li>L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.
:<math>\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T}
Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
:<math>\left( \mathbf{A B C ... X Y Z} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{Z}^\mathrm{T} \mathbf{Y}^\mathrm{T} \mathbf{X}^\mathrm{T} ... \mathbf{C}^\mathrm{T} \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T}
<li>Se ''c'' è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.
:<math>(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T}
<li>['''solo per [[Matrice quadrata|matrici quadrate]]'''] Il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.
:<math>\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A})
<li>Il prodotto scalare tra due vettori colonna '''a''' e '''b''' può essere calcolato come
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},</math>
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<li>Se '''A''' ha solamente elementi reali, allora '''A'''<sup>T</sup>'''A''' è una matrice semidefinita positiva.
<li>La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.
:<math>(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T}
<li>Se '''A''' è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
</ol>
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