Metodo delle tangenti: differenze tra le versioni

In [[analisi numerica]], il '''metodo delle tangenti''', chiamato anche '''metodo di Newton''' o '''metodo di Newton-Raphson''', è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma <math>\,f(x)=0\,</math>. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo <math>\,[a,b]\,</math> che contiene una sola radice.

Il metodo consiste nel sostituire alla curva <math>\,y=f(x)\,</math> la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicità si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo <math>\,[a,b]\,</math> e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa <math>\,x_t\,</math> del punto in cui la tangente interseca l'asse delle x internamente all'intervallo <math>\,[a,b]\,</math>.

Supponiamo che nell'intervallo <math>\,[a,b]\,</math> la funzione e le sue derivate prima e seconda esistano e siano continue e che la derivata prima e seconda siano diverse da zero.

L'equazione della tangente nel punto di ascissa ''a'' risulta <math>\,y-f(a)=f'(a)(x-a)\,</math> quindi ponendo ''y''{{sp}}={{sp}}0

Abbiamo determinato il nuovo intervallo <math>\,[x_0,b]\,</math> contenente la radice che stiamo cercando.

Ripetendo il procedimento per <math>\,x_0\,</math> otteniamo una nuova approssimazione della radice (intersezione della seconda tangente con l'asse delle x)

che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione <math>\,y=f(x)=0\,</math>. Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle <math>\,x_n\,</math> converge alla radice piuttosto rapidamente.

<math>f \in C^2(I)</math> dove ''I'' è un opportuno intorno della radice <math>\,\alpha\,</math> con <math>f'(\alpha) \neq 0</math> e se <math>x_0 \in I</math>

cioè la convergenza è ''quadratica''(il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché ''locale'' (cioè non vale per ogni ''I''). Se invece la radice è multipla, cioè <math>\,f'(\alpha) = 0\,</math> allora la convergenza è ''lineare'' (più lenta).