Progressione geometrica: differenze tra le versioni
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In generale sarà
:<math>ar^0=a , ar^1=ar , ar^2,ar^3,...
dove ''r'' ≠ 0 è la ragione e ''a'' un [[fattore di scala]]. Quindi la ragione fornisce una famiglia di successioni geometriche con valore iniziale determinato dal fattore di scala. In realtà il caso ''r'' = 0 dovrebbe essere escluso, poiché la ragione non è definita; tuttavia la successione identicamente nulla è inclusa per convenzione.
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Il termine '''[[serie geometrica]]''' è riservato alla ''somma'' di infiniti termini di una progressione geometrica, mentre la scrittura sottostante è detta ''somma parziale'' dei primi <math>n</math> termini (con fattore di scala unitario):
:<math>\sum_{k=0}^{n} x^k = x^0+x^1+x^2+x^3+...+x^n
In generale, per il calcolo del valore di una serie geometrica di ragione <math>r</math> e fattore di scala <math>a</math>, si procede nel modo seguente: si moltiplicano entrambi i membri per il fattore <math>(1-r)</math> ottenendo:
:<math>(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k = a-ar^{n+1}
poiché tutti i termini del membro destro dell'equazione, ad eccezione di <math>a</math> e <math>ar^{n+1}</math>, si annullano fra loro. Allora, posto <math>r\ne1</math>:
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