Spazio euclideo: differenze tra le versioni

In [[matematica]], la nozione di '''spazio euclideo''' fornisce una generalizzazione degli spazi a due e a tre dimensioni studiati dalla [[geometria euclidea]]. Per ogni intero naturale ''n'' si dispone di uno spazio euclideo ada ''n'' dimensioni: questo si ottiene dallo spazio vettoriale ada ''n'' dimensioni arricchendolo con le nozioni che consentono di trattare le nozioni di [[distanza euclidea|distanza]], [[lunghezza]] e [[angolo]]. È l'esempio "standard" di [[spazio di Hilbert]] [[numero reale|reale]] a dimensione finita.

Lo spazio <math>\mathbb{R}^n</math> è il prototipo di uno spazio vettoriale reale a dimensione ''n'': infatti ogni spazio vettoriale ''V'' di dimensione ''n'' è [[isomorfismo|isomorfo]] a <math>\mathbb{R}^n</math>. Notiamo che non si impone un isomorfismo ''canonico'': la scelta di un isomorfismo tra <math>\mathbb{R}^n</math> e ''V'' è equivalente alla scelta di una [[base (algebra lineare)|base]] per ''V''. In molte fasi dello sviluppo dell'[[algebra lineare]] gli spazi vettoriali a dimensione ''n'' vengono comunque studiati in astratto, perché molte considerazioni sono più semplici ed essenziali se svolte senza fare riferimento ada una base particolare.