Teorema delle intersezioni dimensionali: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 25:
* Se la retta è [[Tangente (geometria)|tangente]] ad una faccia 2D del cubo 3D l’intersezione sarà ancora un segmento 1D, infatti la faccia 2D ed la retta 1D in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è 2D, quindi: 1 + 2 - 2 = 1
* Se invece la retta è tangente ad uno spigolo 1D del cubo 3D, l’intersezione sarà un punto 0D, infatti lo spigolo 1D ed la retta 1D in questo caso sono complanari e lo spazio ambiente da considerare è 2D, quindi: 1 + 1 - 2 = 0<br />
In uno spazio 4D una retta 1D interseca un cubo 3D in un punto 0D, infatti: 1 + 3 - 4 = 0. Il fatto che una retta possa attraversare un cubo 3D intersecandolo solo in un punto non risulta per niente intuitivo. Per provare a comprenderlo può utilizzarsi un’analogia: per un essere 2D, che viva su un piano, risulterebbe altrettanto incomprensibile come una retta possa attraversare un quadrato intersecandolo solo in un punto, cosa del tutto evidente invece per un essere 3D in uno spazio tridimensionale.
Due oggetti della stessa dimensione dello spazio in cui sono immersi, si intersecano sempre in un oggetto della loro stessa dimensione. Risulterà infatti p + q – n = n + n – n = n. Così nel nostro spazio 3D due oggetti 3D si intersecano in un oggetto tridimensionale e su un piano l’intersezione di due figure piane è ancora una figura piana.
In uno spazio 4D due oggetti tridimensionali si intersecano in una figura 2D. Ancora una volta tale circostanza può risultare poco intuitiva. Ricorrendo alla stessa analogia precedente, si pensi a come per un essere 2D, che viva su un piano, risulti incomprensibile come due figure piane possano intersecarsi in un segmento, fatto del tutto naturale nel nostro spazio 3D.
== Dimostrazione ==
La dimostrazione del teorema può essere desunta direttamente da considerazioni analitiche.
Line 56 ⟶ 61:
e quindi:<br /><br />
<math>m = n - g_m = n - (2n - p - q) = p + q - n</math><br /> <br />
che dimostra il teorema.
== Teorema inverso ==
Invertendo il ragionamento, dal teorema delle intersezioni spaziali si può desumere che
In uno spazio di dimensione <math>n</math>, considerati due spazi di dimensione <math>p</math> e <math>q</math> che si intersecano secondo uno spazio di dimensione <math>m</math>, se risulta
<math>n - (p + q + m) = s > 0</math>
allora i due spazi considerati appartengono necessariamente ad uno stesso spazio di dimensione <math>n - s</math>.
Ad esempio, in uno spazio 3D, considerate due segmenti 1D, se essi si intersecano in un punto 0D, risulterà n – (p + q + m) = 3 – (1 +1 + 0) = s = 1. I segmenti devono dunque appartenere necessariamente ad uno stesso spazio di dimensione n - s = 3 – 1 = 2, cioè ad uno stesso piano.
Se i due segmenti 1D suddetti si intersecassero invece secondo un segmento 1D, allora sarebbe n - (p + q + m) = 3 – (1 +1 + 1) = s = 2 e di conseguenza i due segmenti dovrebbero necessariamente appartenere ad uno stesso spazio di dimensione n – s = 3 – 2 = 1 , cioè ad una stessa retta, come è evidente che sia per due segmenti che si sovrappongono.
| |||