Si noti che dire che una relazione non è simmetrica non equivale a dire che è antisimmetrica; l'antisimmetria è una condizione più forte della semplice non simmetria, pertanto esistono delle relazioni che non sono né simmetriche né antisimmetriche.
== Relazioni antisimmetricheasimmetriche ==
Una relazione ''R'' in ''X'' è detta invece '''antisimmetricaasimmetrica''' se, presi comunque due elementi ''a'' e ''b'' in ''X'', se ''a'' è in relazione con ''b'' e ''b'' è in relazione con ''a'', allora ''a'' = ''b''. In simboli:
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math>
Un esempio di relazione antisimmetricaasimmetrica può essere quella di "essere minore o uguale a" tra numeri, infatti l'unico caso in cui valga <math>a \leq b</math> e <math>b \leq a</math> è che ''a'' e ''b'' siano uguali.
Anche la [[disuguaglianza]] stretta è antisimmetricaasimmetrica; essendo infatti ''a'' < ''b'' e ''b'' < ''a'' impossibile, l'antisimmetriaasimmetria in questa relazione è una verità vuota.
Una relazione antisimmetricaasimmetrica che è anche [[relazione transitiva|transitiva]] e [[relazione riflessiva|riflessiva]] è una [[relazione d'ordine]] debole (detta anche ''relazione d'ordine parziale'', in inglese ''poset'').<br />
Dire che una relazione è antisimmetrica e [[relazione irriflessiva|irriflessiva]] è equivalente a dire che è asimmetrica.
Si noti che l'antisimmetriaasimmetria non è l'opposto della simmetria. Ci sono infatti relazioni che sono simmetriche e non antisimmetricheasimmetriche (come la congruenza [[aritmetica modulare|modulo]] ''n''), relazioni antisimmetricheasimmetriche e non simmetriche ("è minore o uguale a"), ma anche relazioni sia simmetriche che antisimmetricheasimmetriche (come l'[[uguaglianza (matematica)|uguaglianza]]) o né simmetriche né antisimmetricheasimmetriche (la [[divisore|divisibilità]] fra [[numeri interi|interi]]).
