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Test F: differenze tra le versioni

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IlIn [[statistica]] il '''test F per il confronto di due varianze''' è un [[test statisticodi verifica d'ipotesi|test di ipotesi]] basato sulla [[distribuzione di Fisher-Snedecor|distribuzione F di Fisher-Snedecor]] e volto a verificare l'ipotesi che due popolazioni normaliche abbianoseguono la stessaentrambe [[varianza]]distribuzione contronormale|distribuzioni l'[[ipotesi alternativanormali]] cheabbiano lela varianzestessa siano diverse[[varianza]].
 
== Procedimento ==
In generale la formula dice: ''F'' = (variabilità tra i gruppi) / (variabilità nei gruppi)
Se le popolazioni ''X'' e ''Y'' seguono rispettivamente le distribuzioni normali <math>\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)</math> e <math>\mathcal{N}(\mu_Y,\sigma_Y^2)</math>, allora
* i campioni <math>X_1,X_2,\ldots,X_n</math> e <math>Y_1,Y_2,\ldots,Y_m</math> si suppongono indipendenti, i primi isonomi a ''X'' e i secondi isonomi a ''Y'';
* gli [[stimatore|stimatori]] delle varianze osservate <math>S_X^2</math> e <math>S_Y^2</math> sono [[variabile aleatoria|variabili aleatorie]] indipendenti;
* le variabili aleatorie <math>\tfrac{n-1}{\sigma_X^2}S_X^2</math> e <math>\tfrac{m-1}{\sigma_Y^2}S_Y^2</math> seguono rispettivamente le [[distribuzione chi quadro|distribuzioni chi quadro]] <math>\chi^2(n-1)</math> e <math>\chi^2(m-1)</math>;
* il rapporto <math>F=\tfrac{\sigma_Y^2}{\sigma_X^2}\frac{S_X^2}{S_Y^2}</math> segue la distribuzione di Fisher-Snedecor <math>\mathcal{F}(n-1,m-1)</math>.
 
== Variabile di decisione ==
<math>Y=\frac{S_1^2}{S_2^2},</math>▼
Sotto l'ipotesi <math>H_0=(\sigma_X^2=\sigma_Y^2)</math>, ovvero se le due popolazioni hanno la stessa varianza, allora la variabile aleatoria
▲:<math>YF=\frac{S_1S_X^2}{S_2S_Y^2},</math>
segue la distribuzione di Fisher-Snedecor
:<math>\mathcal{F}(n-1,m-1)</math>
di parametri ''n-1'' e ''m-1'', dove ''n'' e ''m'' sono le numerosità dei due campioni.
 
ossiaLa ilscelta rapportodel tranumeratore lenon varianzeinfluenza campionarieil chetest: sisotto dimostral'ipotesi averenulla distribuzionela dellavariabile [[F di Snedecor]] conaleatoria <math>n_1-1/F</math> esegue la distribuzione <math>n_2\mathcal{F}(m-1,n-1)</math> gdl.
Di solito si mette la varianza campionaria più alta a numeratore e il test è volto a verificare se il rapporto è significativamente maggiore di 1; in tal caso si accetta l'ipotesi di diversità delle varianze.
Fissato il livello di significatività <math>\alpha</math> si identifica la regione di rifiuto
come l'insieme dei valori di Y per cui:
 
== Il test ==
:<math>P\left(|Y|>f_{\alpha/2}\right)=\alpha.</math>
Come regione di accettazione, al livello di significatività α, viene preso l'intervallo compreso tra i [[quantile|quantili]] di ordine <math>\frac{\alpha}{2}</math> e <math>1-\frac{\alpha}{2}</math>, mentre la regione di rifiuto è quella esclusa:
:<math>\mathcal{A}=]f_{\frac{\alpha}{2}},f_{1-\frac{\alpha}{2}}[;
\qquad\mathcal{R}=]0,f_{\frac{\alpha}{2}}[\ \cup\ ]f_{1-\frac{\alpha}{2}},\infty[</math>
 
Un valore appartenente all'intervallo <math>]0,f_{\frac{\alpha}{2}}[</math> suggerisce che la varianza di ''X'' sia minore della varianza di ''Y'', mentre un valore appartenente all'intervallo <math>]f_{1-\frac{\alpha}{2}},\infty[</math> suggerisce l'inverso.
Se Y è maggiore del percentile <math>\alpha/2</math> della F si accetta l'ipotesi di diversità delle varianze e si rifiuta l'ipotesi di uguaglianza.
 
== Econometria ==
In molti casi la statistica F può essere calcolata con un processo più diretto:
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Test_F"