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Riga 3: In [[matematica]], a livello intuitivo, per '''funzione periodica''' si intende una [[funzione (matematica)\|funzione]] che assume valori che si ripetono esattamente a "intervalli" regolari. == Definizione == Le funzioni periodiche di interesse primario sono le funzioni di variabile reale a valori reali. ▼ Una funzione <math>f\colon A\to B</math> definita su un [[gruppo abeliano]] ''A'' è '''periodica di periodo t''' se Formalmente, data una [[funzione di variabile reale\|funzione reale]] <math>f: A \to B; A,B\subseteq \R</math>, essa si dice periodica se esiste un numero <math>T \in \R ^+</math> tale che ▼ :<math>\forall a\in A\ f(a+t)=f(a)</math>. * il suo dominio è invariante per traslazioni di passo ''T'' * per ogni <math>x\in A </math> si ha <!--<math>f(x+T)\in B</math>--> <math>f(x+T)=f(x)</math> . == Funzioni di variabile reale == ~~Una funzione non periodica è detta anche '''funzione aperiodica'''.~~ ▲Le funzioni periodiche dipiù ~~interesse primario~~note sono le funzioni reali di variabile reale ~~a valori reali~~. ▲Formalmente, ~~data~~ una [[funzione di variabile reale\|funzione reale]] <math>f:\colon A \to B~~; A,B\subseteq \R~~</math>~~, essa~~ si dice periodica di periodo ''t'' se esiste un numero reale <math>Tt \in \R ^+</math> tale che * il dominio ''A'' è invariante per [[traslazione]] di ''t'', ovvero <math>A+t=\{a+t\mid a\in A\}=A</math> * la funzione ''f'' è invariante per traslazione di ''t'', ovvero per ogni <math>a\in A </math> si ha <math>f(a+t)=f(a)</math> . === Moduli === ~~Si osserva che se ''T'' soddisfa la definizione sopra, anche ''kT'' la soddisfa per ogni ''k'' intero positivo.~~ Se ''f'' è periodica di periodo ''t_1'' ed è periodica di periodo ''t_2'', allora è periodica di ogni periodo Il minimo tra i numeri ''T'' che soddisfano la condizione, se esiste, si dice ''periodo'' della funzione e questa viene detta più precisamente ''funzione periodica di periodo T'' o ''T-periodica''. Tuttavia, esistono funzioni periodiche per cui tale ''T'' minimo non esiste: un esempio è la [[funzione di Dirichlet]]. :<math>t\in t_1\mathbb{Z}+t_2\mathbb{Z}=\{mt_1+nt_2\mid m,n\in\mathbb{Z}\}</math>. L'insieme <math>\mathcal{T}_f</math> dei periodi ''t'' di ''f'' è quindi uno <math><mathbb{Z}</math>-[[modulo (algebra)\|modulo]]. * Se <math>\mathcal{T}_f=\{0\}</math>, ovvero se ''f'' ha il solo periodo ''0'', allora ''f'' è detta '''aperiodica'''. Tra le funzioni periodiche reali interessano in particolare le funzioni definite su tutto l'insieme dei reali e quelle definite per ogni ''x'' reale ad esclusione di una successione bilatera di ascisse della forma * Se <math>\mathcal{T}_f</math> è un modulo libero di dimensione 1, ovvero se <math>\mathcal{T}_f=t\mathbb{Z}</math> con <math>t>0</math>, ovvero se esiste un minimo tra i periodi <math>t>0</math>, allora ''f'' è detta '''periodica di periodo minimo t''', o periodica di periodo ''t'' '''in senso stretto'''. ~~:<math>...,a-2T,\,a-T,\,a,\,a+T,\,a+2T,\,...</math>~~ * Il modulo <math>\mathcal{T}_f</math> non è necessariamente libero di dimensione 0 o 1, ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la [[funzione di Dirichlet]] ha <math>\mathcal{T}_f=\mathbb{Q}</math> e non è né aperiodica né periodica in senso stretto. === Proprietà === Esempi di funzioni periodiche reali definite sull'intero <math>\R</math> sono la [[funzione mantissa]] e le funzioni trigonometriche [[Funzione_seno#Funzione_seno\| seno]] e [[Funzione_coseno#Funzione_coseno\|coseno]]. Esempi di funzioni definite su un insieme di intervalli aperti congruenti e adiacenti sono le funzioni [[tangente (trigonometria)\|tangente]], [[cotangente]], [[secante]] e [[cosecante]]. La somma e il prodotto di due funzioni periodiche di periodo ''t'', aventi lo stesso dominio, sono funzioni periodiche di periodo ''t''. === Domini limitati === La definizione precedente può essere estesa semplicemente lasciando cadere la richiesta del codominio reale e si possono considerare funzioni periodiche con dominio reale e valori qualsiasi; in particolare interessano funzioni periodiche del genere <math>f: \R \to\mathbb{C}</math> e funzioni periodiche a valori vettoriali. Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la [[funzione identità]] ristretta all'intervallo [0,1[, :<math>f\colon\begin{array}[t]{ccc}[0,1[&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x\end{array}</math> definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la [[parte frazionaria]] :<math>\tilde{f}\colon\begin{array}[t]{ccc}\mathbb{R}&\to&\mathbb{R}\\x&\mapsto&x-[x]\end{array}</math> === Esempi === Inoltre possono servire funzioni periodiche dei generi <math>f: \Z \to\R</math> e <math>f: \Z \to\mathbb{C}</math> che si possono ricondurre a casi particolari di quelle dei primi due generi. Queste ultime si possono anche considerare come funzioni aventi come [[Dominio (matematica)\|dominio]] l'insieme delle [[aritmetica modulare\|classi di resto]] modulo ''T'' (questo numero ha senso se è un intero maggiore di 1). * Le funzioni trigonometriche [[seno (matematica)\|seno]] e [[coseno]] sono periodiche di periodo minimo 2π. * Sono quindi automaticamente periodiche di periodo 2π le funzioni <math>\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math> e <math>\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}</math>, che hanno periodo minimo π <math>\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}</math> e <math>\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}</math>, che hanno periodo minimo 2π *<math>1=\sen(x)^2+\cos(x)^2</math>, che non ha un periodo minimo == Funzioni doppiamente periodiche == Una funzione può ammettere due o più periodi non ''commensurabili'' (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio). Ad esempio, una [[funzione ellittica]] è una funzione '''doppiamente periodica''': :è definita dall'insieme dei [[numeri complessi]] in sé, <math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> :è periodica rispetto a due periodi, <math>\omega_1,\omega_2\in\mathbb{C}^\ast\ \forall z\in\mathbb{C}\ f(z+\omega_1)=f(z+\omega_2)=f(z)</math> :questi due periodi sono "incommensurabili", <math>\omega_1/\omega_2\not\in\mathbb{R}</math> ~~Si possono inoltre considerare funzioni periodiche di variabili in un [[gruppo abeliano]] caratterizzate da uno o più periodi: tra queste si collocano le [[funzioni ellittiche]].~~ == Voci correlate == [[Periodicità]]

Funzione periodica: differenze tra le versioni