Logicismo: differenze tra le versioni
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Frege crede di aver raggiunto dunque gli obbiettivi di garantire l'esistenza di infiniti enti matematici definiti solo da ingredienti logici, con cui è dunque possibile procedere a dimostrare verità aritmetiche.
Ma è lecito porre come assioma necessario il passaggio da un concetto alla sua estensione? E dal fatto che l'estensione di un concetto coincide con quella di un altro concetto, si può concludere che ogni oggetto che cade sotto il primo concetto cade anche sotto il secondo? Ebbene: il 16 giugno 1902, mentre stava scrivendo il secondo volume dei ''Principi dell'aritmetica'', il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui [[Bertrand Russell]], uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'[[antinomia]] fondamentale che vanificava la sua intera opera, dimostrando la '''contraddittorietà dell'assioma di comprensione''' su cui Frege si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di [[paradosso di Russell]]. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica. La conseguenza del paradosso di Russell è che la [[teoria degli insiemi]] sviluppata da [[Georg Cantor]] e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente
===Il tentativo di Russell===
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Ebbene, [[Jules Henri Poincaré|Poincaré]] chiama "impredicative" le definizioni che fanno riferimento alla totalità a cui l'ente da definire appartiene; e "predicative" le definizioni che non vi fanno riferimento.
Il processo definitorio delle definizioni impredicative (che individua un ente riferendosi a totalità alle quali l'ente appartiene) è un problema in una concezione costitutiva, riferendosi a qualcosa di non ancora costruito.<br>
Per evitar definizioni impredicative (e relative fallacie dell'autoriferimento) Russell elabora una [[teoria dei tipi]]: gerarchie di livelli degli enti logici, organizzati dai più semplici ai più complessi, definiti riferendosi ad enti già dati.
(Livello 0: gli elementi. Livello 1: gli insiemi di elementi. Livello 2: gli insiemi di insiemi di elementi. E così via). <br>In tale teoria vale il principio del circolo vizioso: nessuna totalità può contener elementi definiti in termini di se stessa. Il problema del sistema logico che Russell è la sua debolezza: senza definizioni impredicative, la matematica costruibile su tale base logica è limitata; e richiede assiomi estranei allo spirito sia predicativista sia logicista di partenza. Un esempio è l'assioma dell'infinito (esiste un tipo a cui appartengono infiniti individui distinti), senza cui si avrebbe l'esistenza di n individui che renderebbero possibile costruire i numeri cardinali da 0 a n, ma n+1 sarebbe una classe nulla, di conseguenza n+1 e tutti i successivi numeri naturali sarebbero tutti identici (cioè 0), il che sarebbe una catastrofe aritmetica.
La riduzione logicista
* il [[predicativismo]] della logica declinata da Russell nella [[teoria dei tipi]] a fronte del non predicativismo della matematica;
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