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Legge di conservazione della carica elettrica: differenze tra le versioni

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L'equazione di continuità è una conseguenza delle [[equazioni di Maxwell]], e si ricava applicando l'operatore [[divergenza]] alla quarta:
 
:<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf \nabla \times \mathbf BH = \mu_0 \mathbf \nabla \cdot \mathbf J +(\rho_E \varepsilon_0dot \mu_0x) + \frac {\partial \mathbf \nabla \cdot \mathbf ED}{\partial t}</math>
 
e sostituendo al suo interno la prima:
 
:<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf ED = \frac {\rho}{\varepsilon_0}rho_E</math>
 
ottenendo così l'equazione di continuità.
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La legge di [[André-Marie Ampère]] afferma infatti che:
 
:<math> \mathbf \nabla \times \mathbf BH = \frac { \mathbfrho_E J\dot \mathbf x} { c^2 \varepsilon_0} </math>
 
Tale espressione è valida solamente nel caso stazionario, poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 396|mencuccini}}</ref><br>
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La divergenza della precedente quantità è nulla per ogni A e B, ossia:
 
:<math> \mathbf \nabla \cdot \mathbf J(\rho_E \dot \mathbf x) = 0 </math>.
 
Applicando il [[teorema della divergenza]], si ha:
 
:<math>\int_Voint_{\partial V} \mathbf \nablarho_E \cdotdot \mathbf Jx \cdot \operatorname d V\mathbf r^2= 0</math>
 
e sostituendo la forma integrale lagrangiana della conservazione della carica
:<math> \frac {\partial } {\partial t} \int_V \rhorho_E dVdr^3= 0</math>
 
L'estensione al caso non stazionario della legge di Ampère è dovuta a Maxwell, il quale notò che la divergenza di un [[rotore (fisica)|rotore]] è sempre nulla, e ci deve quindi essere un ulteriore quantità tale che il secondo termine si annulli senza che la densità di corrente sia nulla.<br>
Sia data una distribuzione uniforme di carica in funzione di una distanza ''r'' dall'origine del sistema di riferimento. Applicando il [[teorema del flusso]] ad una superficie sferica centrata nell'origine, il [[campo elettrico]] ha intensità:
 
:<math>\mathbf E(\mathbf r) = \frac {QQ_E}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {\mathbf r - \mathbf r'}{\left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|^3}</math>
 
dove ''Q<sub>E</sub>'' è la carica totale contenuta nella superficie.<br>
La derivata delparziale campotenporale '''E'''dello rispettospostamento al tempoelettrico è
 
:<math> \frac {\partial \mathbf ED (\mathbf r)}{\partial t} = \frac {\partial Q}{\partial t} \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {\mathbf r - \mathbf r'}{\left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|^3}</math>
 
Utilizzando l'equazione di continuità ed il teorema del flusso si ottiene l'espressione per la corrente di spostamento:<ref name=Cloude>{{Cita libro |titolo=An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas |autore=Raymond Bonnett, Shane Cloude |id=ISBN 1857282418 |editore=Taylor & Francis |anno=1995 |url=http://books.google.com/books?id=gME9zlyG304C&pg=PA16&dq=wave+%22displacement+current%22&lr=&as_brr=0#PPA16,M1 |pagine=16}}</ref><ref name=Slater>{{Cita libro |titolo=Electromagnetism |autore=JC Slater and NH Frank |pagine=84 |url=http://books.google.com/books?id=GYsphnFwUuUC&pg=PA83&dq=displacement+%22ampere%27s+law%22&lr=&as_brr=0#PPA84,M1 |id=ISBN 0486622630 |editore=Courier Dover Publications |anno=1969 |edizione=Reprint of 1947 edition}}</ref>
 
:<math> \frac { 1}{\varepsilon _0} \frac {\partial \mathbf ED(\mathbf r)}{\partial t} = \rho_D \mathbf J_s\dot x</math>
 
Ciò vale per una distribuzione di carica qualunque. Quindi, per avere coerenza, deve essere aggiunto al secondo membro dell'equazione di Ampère un termine pari alla derivata temporale del campo elettrico, ottenendo la quarta equazione di Maxwell:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 398|mencuccini}}</ref>
 
:<math>c^2 \mathbf \nabla \times \mathbf B = \frac {\rho_E \dot \mathbf J x} { \varepsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}</math>
 
Si conclude che in condizioni non stazionarie tale espressione non viola l'equazione di continuità per la carica.
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_conservazione_della_carica_elettrica"