Equazioni di Eulero (fluidodinamica): differenze tra le versioni
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{{Meccanica del continuo}}
In [[meccanica dei continui]], le '''equazioni di [[Eulero]]''' sono l'[[approssimazione di Chapman-Enskog]] più semplice delle [[equazioni di bilancio]] canoniche (le [[equazioni di Navier-Stokes]] costituiscono l'approssimazione successiva, cioé lineare). Esse descrivono un [[flusso inviscido]] o euleriano, ovvero un [[fluido newtoniano]] degenere avendo [[viscosità]] trascurabile. Le leggi coinvolte sono anch'esse di ordine zero: la [[legge di Pascal]] e l'isolamento termico. La [[fluidodinamica]] pura perciò parte da queste equazioni trascurando gli aspetti [[termodinamica|termodinamici]], e contengono come terza equazione un [[bilancio di energia interna]] espresso nella [[pressione]]. Solo dalle equazioni di Navier-Stokes in avanti si evidenzia l'accoppiamento velocità di deriva-temperatura oggetto della [[termofluidodinamica]].
Le equazioni di Eulero
:<math>\left\{\begin{array}{l}▼
Tali equazioni infine, integrate lungo una [[linea di flusso]] in caso di [[flusso incomprimibile]] (''<math>\nabla \cdot \vec u=0</math>'') e [[flusso stazionario|stazionario]], conducono alla ben nota [[equazione di Bernoulli]]. Dall'integrazione in direzione normale alle linee di flusso può invece essere spiegato l'[[effetto Coandă]].▼
Solitamente alla luce delle equazioni costituitive cui si è giunti si preferisce cambiare la variabile del [[bilancio di energia interna]]<ref><math>\rho \varsigma_V \frac{DT}{Dt} + \nabla \cdot \vec q + \bar \bar \tau : \nabla \vec u + p \nabla \cdot \vec u= 0 </math></ref> dalla temperatura nella pressione, poiché questa è puramente meccanica e al fine di evidenziare l'inesistenza di calore sotto forma di scambi termici e dissipazione. Dopo avere eliminato la [[costante di Boltzmann]], ricordando la definizione di [[calore specifico isocoro]], l'equazione risulta perciò:▼
:<math>\frac{D}{Dt} \left( \frac p \rho \right) + \frac 2 3 \frac p \rho \nabla \cdot \vec u = 0 </math>▼
Si sfrutta poi la [[regola di Leibniz]]:▼
:<math>\frac 1 \rho \frac{Dp}{Dt} -\frac{p}{\rho^2}\frac{D\rho}{Dt} + \frac 2 3 \frac p \rho \nabla \cdot \vec u = 0 </math>▼
moltiplicando per la densità e sfruttando l'equazione locale di conservazione della massa per eliminare la [[derivata materiale]] della densità:▼
:<math>\frac{Dp}{Dt} + \frac 2 3 p \nabla \cdot \vec u + p \nabla \cdot \vec u= 0 </math>▼
E raccogliendo i due termini del prim'ordine nella pressione, si evidenzia il [[coefficiente isoentropico]] monoatomico 5/3:▼
:<math>\frac{Dp}{Dt} + \frac 5 3 p \nabla \cdot \vec u = 0</math>▼
▲Le equazioni di Eulero nell'apposita notazione della derivata lagrangiana si scrivono perciò<ref name="D56"/>:
\displaystyle \frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec u = 0\\\\
\displaystyle \frac{D \vec u}{Dt} + \frac{\nabla p}{\rho} - \vec g = \vec 0\\\\
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La difficoltà della soluzione delle equazioni di Eulero consiste nell'accoppiamento tra ogni variabile e le altre due in ciascun bilancio, tranne il primo, più semplice poiché non contiene la pressione.
Dove ''ρ'' è la [[densità]] del fluido, ''u'' la sua [[velocità di deriva]], ''p'' la [[pressione]].
▲Tali equazioni
Nel caso invece che si voglia mantenere la temperatura come variabile, bisogna cambiare il secondo bilancio:▼
▲:<math>\left\{\begin{array}{l}
\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec u = 0\\\\▼
\frac{D \vec u}{Dt} + \frac{kT}{\rho} \nabla \rho + k \nabla T - \vec g = \vec 0\\\\▼
\frac{DT}{Dt} + \frac {T}{\rho c_V} \nabla \cdot \vec u = 0 ▼
\end{array}\right.</math>▼
==Derivazione==
{{vedi anche|distribuzione di Maxwell-Boltzmann}}
Se
<math>\left\{\begin{array}{l}
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*τ è il [[tensore del taglio]]
In questo modo viene raggiunta la chiusura più semplice delle equazioni di bilancio:
Rimane fondamentale il fatto che anche in questa approssimazione, che costituisce la più radicale fra tutte, la [[legge di conservazione della massa]] non viene approssimata ma rimane intatta. ==Forme alternative==
▲Solitamente alla luce delle equazioni costituitive cui si è giunti si preferisce cambiare la variabile del [[bilancio di energia interna]]<ref><math>\rho \varsigma_V \frac{DT}{Dt} + \nabla \cdot \vec q + \bar \bar \tau : \nabla \vec u + p \nabla \cdot \vec u= 0 </math></ref> dalla temperatura nella pressione, poiché questa è puramente meccanica e al fine di evidenziare l'inesistenza di calore sotto forma di scambi termici e dissipazione. Dopo avere eliminato la [[costante di Boltzmann]], ricordando la definizione di [[calore specifico isocoro]], l'equazione risulta perciò:
▲:<math>\frac{D}{Dt} \left( \frac p \rho \right) + \frac 2 3 \frac p \rho \nabla \cdot \vec u = 0 </math>
▲Si sfrutta poi la [[regola di Leibniz]]:
▲:<math>\frac 1 \rho \frac{Dp}{Dt} -\frac{p}{\rho^2}\frac{D\rho}{Dt} + \frac 2 3 \frac p \rho \nabla \cdot \vec u = 0 </math>
▲moltiplicando per la densità e sfruttando l'equazione locale di conservazione della massa per eliminare la [[derivata materiale]] della densità:
▲:<math>\frac{Dp}{Dt} + \frac 2 3 p \nabla \cdot \vec u + p \nabla \cdot \vec u= 0 </math>
▲E raccogliendo i due termini del prim'ordine nella pressione, si evidenzia il [[coefficiente isoentropico]] monoatomico 5/3:
▲:<math>\frac{Dp}{Dt} + \frac 5 3 p \nabla \cdot \vec u = 0</math>
Le equazioni di Eulero nell'apposita notazione della derivata lagrangiana si scrivono perciò<ref name="D56"/>:
\displaystyle \frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec u = 0\\\\
\displaystyle \frac{D \vec u}{Dt} + \frac{\nabla p}{\rho} - \vec g = \vec 0\\\\
\displaystyle \frac{Dp}{Dt} + \frac 5 3 p \nabla \cdot \vec u= 0
▲\end{array}\right.</math>
La difficoltà della soluzione delle equazioni di Eulero consiste nell'accoppiamento tra ogni variabile e le altre due in ciascun bilancio, tranne il primo, più semplice poiché non contiene la pressione.
Dove ''ρ'' è la [[densità]] del fluido, ''u'' la sua [[velocità di deriva]], ''p'' la [[pressione]].
▲Nel caso invece che si voglia mantenere la temperatura come variabile, bisogna cambiare il secondo bilancio:
:<math>\left\{\begin{array}{l}
▲\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec u = 0\\\\
▲\frac{D \vec u}{Dt} + \frac{kT}{\rho} \nabla \rho + k \nabla T - \vec g = \vec 0\\\\
▲\frac{DT}{Dt} + \frac {T}{\rho c_V} \nabla \cdot \vec u = 0
\end{array}\right.</math>
==Caso bidimensionale cartesiano stazionario e libero==
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