Equazione di quarto grado: differenze tra le versioni
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Si profuse allora grande impegno nel trovare le soluzioni generali di equazioni di quinto grado e superiore, ma invano: solo due secoli e mezzo dopo, i lavori di [[Paolo Ruffini (matematico)|Ruffini]] del [[1799]], in maniera incompleta, e di [[Niels Abel|Abel]] nel [[1824]], in maniera esaustiva, costituiscono complessivamente quello oggi noto come [[Teorema di Abel-Ruffini]]. In particolare [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] trovò che l'equazione risolvente di un'equazione di quinto grado è un'equazione di sesto, ricollegandosi ai risultati di [[Evariste Galois|Galois]] nella [[teoria dei gruppi]].
== Metodo risolutivo (passaggio per la risolvente) ==
Il metodo risolutivo è imperniato sulla risoluzione di un'[[equazione di terzo grado]], detta ''risolvente''. Poiché la formula è veramente lunga e complessa, si preferisce solitamente riportare il metodo risolutivo in forma di [[algoritmo]], alla maniera del metodo babilonese per la risoluzione dell'[[equazione di secondo grado]].
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\end{array}
</math>
== Metodo risolutivo (forma esplicita) ==
Dai metodi precedenti si può risalire (con molti conti) a una formula generale per la risoluzione delle equazioni di quatro grado in forma generica. Il risultato esposto sottò si dimostra utile sopratutto dimostrazioni di carattere astratto, dove sostituendo e facendo i conti con pazienza, si possono ottenere espressioni generali del valore di quantità di interesse.
Le quattro radici (<math>x_1, x_2, x_3, x_4</math>) di una generica quartica
:<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,</math>
con {a} ≠ 0 si trovano con la seguente formula
:<math>
x_{1,2} = -\frac{b}{4a} - S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p + \frac{q}{S}}
</math>
:<math>
x_{3,4} = -\frac{b}{4a} + S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p - \frac{q}{S}}
</math>
dove {p} and {q}} sono i coefficienti di secondo e terzo grado della quartica depressa associata:
:<math>p = \frac{8ac-3b^2}{8a^2}\qquad\qquad {\color{white}.}</math>
:<math>q = \frac{b^3 - 4abc + 8a^2d}{8a^3} </math>
e dove
:<math>S = \frac{1}{2}\sqrt{-\frac23\ p+\frac{1}{3a}\left(Q + \frac{\Delta_0}{Q}\right)} \quad\qquad\ {\color{white}.}</math>
:<math>Q\ =\ \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}} \quad\qquad\qquad {\color{white}.}</math>
con
:<math>\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae</math>
:<math>\Delta_1 = 2c^3 - 9bcd + 27b^2 e + 27ad^2 - 72ace</math>
== Voci correlate ==
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