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Dimostrazione della irrazionalità di π: differenze tra le versioni

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Riga 7:
<math>f(x) := \frac{x^n(1-x)^n}{n!} = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n{n \choose k}(-1)^k x^{n + k}</math>,
 
dove l'ultimo membro segue dal [[teorema binomiale]]. Poiché <math>f(x)</math> è un polinomio di <math>2n</math>-esimo grado di <math>x</math> sarà <math>f^{(m)}(0x)=0</math> per ogni <math>x\in\R</math> e per ogni intero <math>m > 2n</math>. eInoltre <math>f^{(m)}(0)=0</math> per ogni <math>m < n</math> poiché il minimo esponente con cui compare <math>x</math> in <math>f(x)</math> è <math>n</math>.
anche per ogni <math>m < n</math> poiché il minimo esponente con cui compare <math>x</math> in <math>f(x)</math> è <math>n</math>.
 
Se <math>m \in \{n,n+1,\dots,2n\}</math> si ha d'altra parte:
Line 14 ⟶ 13:
<math>f^{(m)}(x) = \frac{1}{n!}\sum_{k=m-n}^n {n \choose k} \frac{(n+k)!}{(n+k-m)!}(-1)^{k}x^{n+k-m}</math>,
 
per cui per ogni <math>m \in \mathbb{N}</math> abbiamo <math>f^{(m)}(0) n,n+1,\in dots,2n\mathbb{Z}</math> e essendo <math>f(1-x)=f(x)</math> abbiamo anche <math>f^{(m)}(1) \in \mathbb{Z}</math>.che
 
<math>f^{(m)}(0) = \frac{1}{n!} {{n}\choose{m-n}} m! (-1)^{m-n} \in \mathbb{Z}</math>.
Supponiamo che esistano <math>a,b \in \mathbb{N}^+</math> tali che <math>\pi^2=\frac{a}{b}</math>, quindi definiamo▼
 
<math>F_n(\cdot):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> come:▼
Queste considerazioni mostrano che <math>f^{(m)}(0)\in\Z</math> per ogni <math>m \in \mathbb{N}</math>.
 
Da cui, essendo <math>f(1-x)=f(x)</math>, abbiamo anche <math>f^{(m)}(1) \in \mathbb{Z}</math>.
 
▲Supponiamo ora, per assurdo, che esistano <math>a,b \in \mathbb{N}^+</math> tali che <math>\pi^2=\frac{a}{b}</math>, quindi definiamo.
 
▲Definiamo <math>F_n(\cdot):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> come:
 
<math>F_n(x) := b^n \sum_{k=0}^n (-1)^{k}\pi^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)</math> .
 
Per quanto detto prima <math>F_n(0)</math>, <math>F_n(1)</math> sono interi;. con alcuni calcoli si trova:
 
Inoltre, ricordando che <math>f^{(2n+2)}(x)=0
<math>\frac{d}{dx}\left[F_n^{(1)}(x)\sin(\pi x) - \pi F_n(x) \cos(\pi x)\right] = \pi^2 a^n f(x) \sin(\pi x)</math> .▼
</math>, abbiamo:
 
<math>F^{(2)}_n(x)+\pi^2 F_n(x)
Si ha quindi:▼
 
= b^n \left[ \sum_{k=0}^n (-1)^k \pi^{2(n-k)} f^{(2k+2)}(x)+\pi^2
<math>\int_0^1 \pi a^n f(x) \sin(\pi x) = \left[ \frac{F_n^{(1)}(x)\sin(\pi x)}{\pi} - F_n(x) \cos(\pi x) \right]_0^1 = F_n(1) + F_n(0) \in \mathbb{Z}</math> .
\sum_{k=0}^n (-1)^k \pi^{2(n-k)} f^{(2k)}(x)\right]
 
Poiché nell'intervallo (0, 1) è <math>0 < f(x) < \frac{1}{n!}</math>, otteniamo:
 
</math>
<math>0 < \int_0^1 \pi a^n f(x) \sin(\pi x) < \frac{\pi a^n}{n!}</math>.
 
<math>= b^n \left[ -\pi^2\sum_{h=1}^{n+1} (-1)^{h} \pi^{2(n-h)} f^{(2h)}(x)+\pi^2
Per <math>n</math> sufficientemente grande l'ultimo membro è <math>< 1</math> e ciò comporta un assurdo in quanto non esistono interi in <math>]0,1[</math>; quindi <math>\pi^2</math> (e ovviamente anche <math>\pi</math>) è irrazionale.
\sum_{h=0}^n (-1)^h \pi^{2(n-h)} f^{(2h)}(x)\right]
</math>
 
<math>= b^n \pi^{2(n+1)}f(x)=a^n\pi^2 f(x).
 
</math>
[[Categoria:Dimostrazioni matematiche]]
 
[[Categoria:pi greco]]
Da questi calcoli si trova che:
 
▲<math>\frac{d}{dx}\left[F_n^{(1)}(x)\sin(\pi x) - \pi F_n(x) \cos(\pi x)\right] = \pi^2 a^n f(x) \sin(\pi x)</math> .
 
▲Si ha quindi:
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazione_della_irrazionalità_di_π"