Propagazione degli errori: differenze tra le versioni
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In [[fisica]], per '''propagazione degli errori''' si intende l'effetto dell'[[errore statistico|errore]] (o [[variabilità]]) di un vettore di [[variabile casuale|variabili aleatorie]] sull'errore associato ad una [[funzione (matematica)|funzione]] di esso. Tali variabili, quando oggetto di rilevazione sperimentale, sono inoltre soggette a [[variabilità]] osservazionale dovuta a limitazioni nella misura (dovuta ad esempio alla precisione degli [[strumento di misura|strumenti di misura]]), che si propaga alla funzione delle osservazioni.
Ad una variabile
Se si conosce o si può ipotizzare la [[variabile casuale#Distribuzione di probabilità|distribuzione di probabilità]] della variabile oggetto di misura, è possibile inoltre probabilizzare intervalli di valori in cui possa essere inclusa la variabile. Spesso si assume [[distribuzione normale|normalità in distribuzione]] per tale quantità, con media nulla in assenza di errori sistematici ([[bias (statistica)|bias]]) e con [[deviazione standard]] pari proprio all'[[errore assoluto]]. Sotto tale ipotesi, l'intervallo di ampiezza
==Formula generale==▼
[[Immagine:Propagazione.jpg|thumb|Andamento grafico della formula di propagazione degli errori]]▼
Sia <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] dipendente da <math>n</math> [[variabile (matematica)|variabili]] del tipo <math>x_1,x_2,...,x_n</math>; l'incertezza di ciascuna variabile è data da <math>\Delta
Se le variabili non sono [[correlazione|correlate]], si può calcolare l'errore
:<math>\Delta f = \Delta f \left(x_1, x_2, ..., x_n, \Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n \right) = \left(\sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i \right)^2 \right)^{1/2} \, ,</math>▼
Se le variabili sono invece [[correlazione|correlate]], si inserisce la [[covarianza]] tra coppie di variabili
:<math>\Delta f = \left( \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_k}C_{i,k} \right) \right)^{1/2}\, .</math>▼
Dopo aver calcolato <math>\Delta f</math>, si può quindi affermare che il valore della funzione con la sua incertezza è pari a:▼
<math>f \pm \Delta f \, .</math>▼
Non è certo un risultato sorprendente: le incertezze sulle
Si forniscono dunque alcune [[formula|formule]] per il calcolo dell'incertezza di funzioni particolari assumento sempre la presenza di [[covarianza]] tra le variabili come <math>C_{i,k}</math>, dove <math>i</math> e <math>k</math> sono due generiche variabili, espressa negli esempi come <math>A</math>, <math>B</math> o <math>C</math>.
==Esempi==
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Incertezza
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| <math>X = A \pm B </math> || <math>(\Delta X)^2 = (\Delta A)^2 + (\Delta B)^2 + 2\cdot C_{A,B}</math> ▼
▲<math>\Delta X = \Delta A + \Delta B</math>
|-
| <math>X = cA </math> || <math>\Delta X = c \cdot \Delta A
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| <math>X = A \cdot B \, </math> || <math>(\Delta X)^2 = B^2(\Delta A)^2 + A^2(\Delta B)^2+AB\cdot 2\cdot C_{A,B}</math>
|-
| <math>X = A\cdot B\cdot C </math>|| <math>(\Delta X)^2 = (BC)^2(\Delta A)^2 + (AC)^2(\Delta B)^2+ (AB)^2(\Delta C)^2 + 2\cdot BC\cdot AC\cdot C_{A,B} + 2\cdot BC\cdot AB\cdot C_{A,C} +2\cdot AC\cdot AB\cdot C_{B,C}</math>
|-
| <math>X = A^i\cdot B^j</math> || <math>
|-
| <math>X = \frac{A}{B} </math> ||
|-
| <math>X = \ln (A) </math> || <math>\Delta X=\frac{\Delta A
|-
| <math>X = e^A </math> || <math>\Delta X=e^A\cdot \Delta A
|}
▲==Formula generale==
▲[[Immagine:Propagazione.jpg|thumb|Andamento grafico della formula di propagazione degli errori]]
▲Sia <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] dipendente da <math>n</math> [[variabile (matematica)|variabili]] del tipo <math>x_1,x_2,...,x_n</math>; l'incertezza di ciascuna variabile è data da <math>\Delta x_j</math>:
▲:<math>x_j \pm \Delta x_j\, .</math>
▲Se le variabili non sono [[correlazione|correlate]], si può calcolare l'errore Δ''f'' di ''f'' partendo dalle incertezze delle singole variabili:
▲:<math>\Delta f = \Delta f \left(x_1, x_2, ..., x_n, \Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n \right) = \left(\sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i \right)^2 \right)^{1/2} \, ,</math>
▲dove <math>\frac{\partial f}{\partial x_j}</math> è la [[derivata parziale]] di
▲<math>f</math> per la <math>j</math>-esima variabile.
▲Se le variabili sono invece [[correlazione|correlate]], si inserisce la [[covarianza]] tra coppie di variabili ''C<sub>i,k</sub>'' := cov(''x<sub>i</sub>'',''x<sub>k</sub>'') come una doppia somma tra ogni coppia (''i'',''k''):
▲:<math>\Delta f = \left( \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_k}C_{i,k} \right) \right)^{1/2}\, .</math>
▲Dopo aver calcolato <math>\Delta f</math>, si può quindi affermare che il valore della funzione con la sua incertezza è pari a:
▲<math>f \pm \Delta f \, .</math>
▲Non è certo un risultato sorprendente: le incertezze sulle ''x'' influiscono sulla variabile ''y'' a seconda di come le variabili siano tra loro correlate. Sviluppando mediante un [[polinomio di Taylor]] la funzione ''f''(x) fino al primo ordine (nell'ipotesi che tutti i termini di ordine superiore al primo siano trascurabili), le derivate del primo ordine descrivono ''bene''<ref>{{Cita libro|titolo = An Introduction to Error Analysis|autore = John R. Taylor,|editore = University Science Books|anno = 1997|isbn = 978-0-935702-75-0|pagine=64-65}}</ref> l'andamento stesso della funzione.
==Applicazioni==
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