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Integrale di linea: differenze tra le versioni

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{{Avvisounicode}}
{{nota disambigua|il metodo di integrazione funzionale usato in meccanica quantistica|[[Integrale sui cammini]]}}
[[File:Line-Integral.gif|right]]
In [[matematica]], un '''integrale di linea''' (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o ''integrale curvilineo'' è un [[integrale]] in cui la [[funzione (matematica)|funzione]] da integrare è valutata lungo un cammino o una [[Curva (matematica)|curva]]. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato '''integrale di contorno'''.
 
La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo scalare con il vettore [[Differenziale_(matematica)|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)|intervalli]]. Molte relazioni in fisica sono formulate in termini di integrali di linea: ad esempio, il [[lavoro (fisica)|lavoro]] compiuto dalle forze del campo su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.
 
== Analisi vettoriale ==
L'integrale di linea di un [[campo scalare]] è talvolta detto "di prima specie", mentre l'integrale di un [[campo vettoriale]] è "di seconda specie".
 
=== Integrale di prima specie ===
{{Vedi anche|Integrale di linea di prima specie}}
In termini qualitativi, un integrale di linea nel calcolo vettoriale può essere pensato come la misura di un effetto di un dato [[campo vettoriale]] lungo una certa curva.
 
Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math>, con <math>t \in [a, b]</math>, come:<ref>{{Cita web
|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Curvilinear_integral
|titolo=Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral
|autore=L.D. Kudryavtsev
|anno=2012
}}</ref>
 
:<math>\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \,dt</math>
 
dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]. Se il dominio della funzione <math>f</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math> (o <math>[r(b),r(a)]</math>, qualora fosse <math>r(b)<r(a)</math>). Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli [[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della [[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]].
 
=== Integrale di seconda specie ===
{{Vedi anche|Integrale di linea di seconda specie}}
 
Similmente, per un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf{F} : \R^n \to \R^n</math>, l'integrale di linea lungo una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math> con <math>t \in [a, b]</math>, è definito da:<ref name=mathworld>{{Cita web
|url=http://mathworld.wolfram.com/LineIntegral.html
|titolo=MathWorld - Line Integral
|autore=Eric Weisstein
|anno=2012
}}</ref>
 
:<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t</math>
 
=== Indipendenza dal cammino ===
{{Vedi anche|Teorema del gradiente}}
Se un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è il [[gradiente]] di un campo scalare <math>G</math>, cioè:
 
:<math>\nabla G = \mathbf{F}</math>
 
allora la [[derivata]] della [[funzione composta]] di <math>G</math> e <math>\mathbf{r}(t)</math> è:
 
:<math>\frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>
 
che è l'integrando dell'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>\mathbf{r}(t)</math>. Segue che, dato un cammino <math>C</math>:
 
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt}\,\mathrm{d}t = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a))</math>
 
A parole, l'integrale di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math> dipende solamente dai valori nei punti <math>\mathbf{r}(b)</math> e <math>\mathbf{r}(a)</math>, ed è quindi indipendente dal cammino particolare. Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto ''cammino indipendente''.
 
L'integrale di linea è largamente usato in fisica, spesso nella descrizione di [[campo di forze|campi di forze]] [[Campo vettoriale conservativo|conservativi]]. Per esempio, il lavoro <math>W=\mathbf F\cdot\mathbf s</math> svolto su una particella che si muove su una curva <math>C</math> in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è l'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math>:
 
:<math>W=\int_C \mathbf F\cdot \operatorname d\mathbf s</math>
 
== Analisi complessa ==
L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Sia <math>U \subset \C</math> un [[insieme aperto]], sia <math>\gamma : [a,b] \to U</math> una [[curva rettificabile]] e <math>f : U \to \C</math> una funzione. Allora l'integrale di linea:
 
:<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z</math>
 
può essere definito suddividendo l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math> in <math>a = t_0 < t_1 < t_2 \dots < t_n = b</math> e considerando l'espressione:
 
:<math>\sum_{0 \le k \le n} f\big(\gamma(t_k)\big) \big(\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})\big)</math>
 
L'integrale è il [[limite (matematica)|limite]] di questa somma, per la lunghezza delle suddivisioni tendente a zero.
 
Se <math>\gamma</math> è una curva [[differenziabile]] con continuità, l'integrale di linea può essere valutato come un integrale di una funzione reale di variabile reale:
 
:<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z =\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t</math>
 
Quando <math>\gamma</math> è una curva chiusa, cioè la sua posizione iniziale e finale coincidono, la notazione:
 
:<math>\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z</math>
 
è spesso usata per l'integrale di linea di <math>f</math> su <math>\gamma</math>.
 
Vedendo i numeri complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un [[campo vettoriale]] corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. Nello specifico, se:
 
:<math>\mathbf{r} (t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j} \qquad f(z)=u(z)+iv(z)</math>
 
allora:
 
:<math>\int_L \overline{f(z)}\,dz = \int_L (u-iv)\,dz = \int_L (u\mathbf{i}+v\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r} - i\int_L (v\mathbf{i}-u\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r}</math>
 
a condizione che gli integrali alla destra esistono e che la parametrizzazione <math>\gamma</math> di <math>L</math> abbia la stessa orientazione di <math>\mathbf{r}</math>.
 
Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]], il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una [[funzione olomorfa]] è nullo. Per il [[teorema dei residui]], inoltre, spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale. Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].
 
=== Esempi ===
Si consideri una funzione <math>f(z) = 1 / z</math>, e la circonferenza <math>\gamma</math> di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da:
 
:<math> \gamma(t)= \mathrm{e}^{it} </math>
 
Sostituendo, si trova:
 
:<math>\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over \mathrm{e}^{it}} i\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t=i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i</math>
 
che può anche essere verificato con la [[formula integrale di Cauchy]].
 
== Meccanica quantistica ==
 
L' "[[integrale sui cammini|integrazione sui cammini]]" usata in [[meccanica quantistica]] si riferisce non agli integrali trattati in questa voce ma a un metodo di [[integrazione funzionale]], che è l'integrazione su uno spazio di cammini, di una funzione ''di'' un possibile cammino. Gli integrali di linea nel senso di questa voce sono tuttavia importanti in meccanica quantistica; per esempio, l'integrazione complessa lungo una curva chiusa è spesso utilizzata nel valutare l'[[ampiezza di probabilità]] nella teoria quantistica dello [[scattering]].
 
==Note==
<references/>
 
==Bibliografia==
* {{en}} Krantz, S. G. ''The Complex Line Integral.'' §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.
 
== Voci correlate ==
* [[Circuitazione]]
* [[Integrale]]
* [[Integrale di linea di prima specie]]
* [[Integrale di linea di seconda specie]]
* [[Integrazione funzionale]]
* [[Integrale di superficie]]
* [[Integrale di volume]]
* [[Teorema del rotore]]
 
==Altri progetti==
{{interprogetto|v=Integrali curvilinei}}
 
== Collegamenti esterni ==
 
* {{en}} [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals Problemi risolti su integrali di linea]
 
{{analisi matematica}}
 
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Analisi complessa]]
[[Categoria:Calcolo integrale|Linea, integrale di]]
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_linea"