Turbina Pelton: differenze tra le versioni
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La [[Potenza (fisica)|potenza]] di una turbina Pelton sarà data dalla forza che l'acqua esercita sulla turbina per la velocità periferica, cioè la velocità della parte più esterna della turbina.
<math>W=R \cdot v_p = \rho \cdot Q \cdot (v_1-v_p) \cdot (1+\cos \alpha) \cdot v_p</math>
====Dimostrazione====
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<math>\overline{G} + \overline{\Pi} =\overline{m}_2 - \overline{m}_1</math>
<math>R = \rho \cdot Q \cdot v_1 \cdot \cos \alpha + \rho \cdot Q \cdot v_1= \rho \cdot Q \cdot v_1 \cdot (1+\cos \alpha)</math>
Dove:
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La potenza sarà data da:
<math>W = R \cdot v_p = \rho \cdot Q \cdot v_1 \cdot (1+\cos \alpha) \cdot v_p</math>
Per trovare il massimo rapporto tra la velocità periferica e la velocità dell'acqua, per avere un più alto rendimento, scriviamo la derivata rispetto alla velocità periferica della potenza:
<math>W'=\rho \cdot Q \cdot (1+ \cos \alpha) \cdot (v_1-2 \cdot v_p)</math>
Secondo l'[[analisi matematica]] poniamo uguale a zero per sapere dove abbiamo un massimo:
<math>\rho \cdot Q \cdot (1+ \cos \alpha) \cdot (v_1-2 \cdot v_p)=0</math>
<math>v_1-2 \cdot v_p=0</math>
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La particolarità della superiorità a livello di rendimento della turbina Pelton, deriva dalla pala a forma di cucchiaio, che permette di recuperare parte della potenza generata. Il rendimento dipenderà dall'angolo α, cioè l'angolo che si genera tra il limite esterno del cucchiaio e la mezzeria del cucchiaio. Il rendimento sarà dato da:
<math>\eta = \frac{1+\cos \alpha}{2}</math>
====Dimostrazione====
Innanzi tutto possiamo dire che il [[rendimento meccanico|rendimento]] di una turbina potrà essere uguale al quoziente tra la potenza efficace diviso quella disponibile. In termini matematici sarà:
<math>\eta = \frac{W_\text{efficace}}{W_\text{totale}}=\frac{\rho \cdot Q \cdot (v_1-v_p) \cdot (1+\cos \alpha) \cdot v_p}{\rho \cdot Q \cdot \cdot v_1 \cdot v_p}</math>
È dimostrato che il rendimento massimo sarà quando la velocità periferica della pala ''v<sub>p</sub>'' è uguale alle metà della velocità del getto all'uscita dell'ugello, ''v<sub>1</sub>'': <math>v_p = \frac{v_1}{2}</math>. Sostituendo nell'espressione sopra sopra:
<math>\eta = \frac{\rho \cdot Q \cdot (v_1-\frac{v_1}{2}) \cdot (1+\cos \alpha) \cdot v_p}{\rho \cdot Q \cdot \cdot v_1 \cdot \frac{v_1}{2}}</math>
Semplificando, possiamo scrivere:
<math>\eta = \frac{(1+\cos \alpha) \cdot \frac{v_1^2}{4} }{\frac{v_1}{2}}</math>
Quindi basta semplificare per scrivere l'equazione finale:
<math>\eta = \frac{1+\cos \alpha}{2}</math>
==Esempio di potenza==
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