Algebra di Borel: differenze tra le versioni
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* Sia <math>X</math> un insieme non vuoto, e siano <math>\mathfrak{F}_0=\{\emptyset,X\}</math> la [[topologia banale]] e <math>\mathfrak{F}_{\mathcal{P}}=\mathbf{2}^X</math> la [[topologia discreta]] di <math>X</math> (qui e nel seguito <math>\mathbf{2}^X</math> indica l'[[insieme delle parti]] di <math>X</math>). <math>\mathfrak{F}_{0}</math> e <math>\mathfrak{F}_{\mathcal{P}}</math> sono anche due σ-algebre<ref>Queste due σ-algebre sono dette ''improprie'', si veda anche la sezione [[Esempi ed applicazioni]] nella voce ''σ-algebra''.</ref>, e quindi ''le'' σ-algebre generate dalle medesime <math>\mathfrak{F}_{0}</math> e <math>\mathfrak{F}_{\mathcal{P}}</math>. Ne segue che esse sono delle algebre di Borel, e <math>(X, \mathfrak{F}_0)</math> e <math>(X, \mathfrak{F}_{\mathcal{P}})</math> sono i più semplici esempi di spazi boreliani.
* Ricordiamo che dato un qualunque insieme non vuoto <math>X</math>, la famiglia composta da tutti i sottoinsiemi di <math>X</math> che hanno [[cardinalità]] numerabile o il cui complementare abbia cardinalità numerabile è una σ-algebra<ref>Per approfondimenti, ci riferiamo di nuovo alla sezione [[Esempi ed applicazioni]] nella voce ''σ-algebra''.</ref>. È immediato verificare che questa σ-algebra è quella generata dalla [[topologia cofinita]] su <math>X</math>, ed è pertanto un'algebra boreliana.
* L'algebra di Borel utilizzata più di frequente in matematica, è la σ-algebra di Borel sui numeri reali (o più in generale sugli [[spazio euclideo|spazi euclidei]]). Questa è la più piccola σ-algebra contenente tutti gli [[Intervallo (matematica)|intervalli]] reali, ed è generalmente utilizzata per definire le [[funzione misurabile|funzioni misurabili]] e le [[Variabile casuale|variabili aleatorie]] a valori reali, la [[misura di Borel]], ed in alcune delle possibili costruzioni della [[misura di Lebesgue]]. Essa può essere costruita induttivamente seguendo il procedimento generale indicato sotto. Si può dimostrare che questa σ-algebra ha la [[cardinalità del continuo]], e dunque solo ''pochi'' sottoinsiemi dei numeri reali sono boreliani. Tuttavia, tutti i sottoinsiemi di <math>\mathbb{R}</math> che ricorrono più spesso sono boreliani, ad esempio:
** Gli insiemi numerabili, come gli [[Numero intero|interi]], i [[Numero razionale|razionali]] o loro sottoinsiemi.
** Gli intervalli aperti e chiusi, ma anche ''semiaperti'', e le semirette aperte e chiuse. Ad esempio l'intervallo <math>[0,1)</math> è boreliano.
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