Divisione per zero: differenze tra le versioni
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[[File:Hyperbola one over x.svg|thumb|La funzione <math display="inline">\frac{1}{x}</math> presenta un [[asintoto]] per
In [[matematica]], una '''divisione per zero''' è una [[divisione (matematica)|divisione]] della forma <math display="inline">\frac{a}{0}</math>. Il risultato ''non esiste'' (cioè l'espressione non ha significato) in [[aritmetica]] e in [[algebra]].
È piuttosto diffusa l'errata opinione per cui il valore di <math display="inline">\frac{a}{0}</math> sarebbe <math>\infty</math> ([[infinito (matematica)|infinito]]). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a una interpretazione della divisione in termini della teoria dei [[Limite (matematica)|limiti]] dell'[[analisi matematica]].
Esistono comunque particolari strutture matematiche all'interno delle quali la divisione per zero potrebbe essere definita in modo consistente (per esempio, la [[sfera di Riemann]]).
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== Interpretazione algebrica ==
È generalmente stabilito fra i matematici che un modo naturale per interpretare la divisione per zero è di prima definire la divisione in termini di altre operazioni aritmetiche. Stando alle normali regole per l'aritmetica su [[Numero intero|interi]], [[numeri razionali]], [[numeri reali]] e [[numeri complessi]], il valore di una divisione per zero è ''indefinito'', così come in un qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il motivo è che la [[divisione (matematica)|divisione]] è definita in modo da essere l'operazione inversa della [[moltiplicazione]]. Questo significa che il valore di <math display="inline">{a \over b}</math> è la soluzione ''x'' dell'equazione
:<math>
qualora un tale valore esista e sia unico. In caso contrario l'espressione <math display="inline">{a \over b}</math> è indefinita.▼
Per
▲qualora un tale valore esista e sia unico. In caso contrario l'espressione <math>{a \over b}</math> è indefinita.
▲Per <math>b=0</math>, l'equazione <math>bx=a</math> può essere riscritta come <math>0x=a</math> o semplicemente <math>0=a</math>. Quindi, in questo caso, l'equazione <math>bx=a</math> ha ''nessuna soluzione'' se <math>a</math> è diverso da <math>0</math>, e ne ha ''infinite'' se <math>a</math> è uguale a <math>0</math>. In entrambi i casi, <math>{a \over b}</math> è indefinito. Al contrario, per i sistemi numerici menzionati sopra, l'espressione <math>{a \over b}</math> è ''sempre'' definita se <math>b</math> non è uguale a zero.
=== Dimostrazioni fallaci basate sulla divisione per zero ===
È possibile nascondere una divisione per zero in una dimostrazione [[algebra|algebrica]], portando ad un [[sofisma algebrico]] simile a
* Per ogni numero reale <math>x</math>:
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::<math> (x - x)(x + x) = x(x - x).</math>
<small>(Il termine di sinistra è ottenuto come caso particolare della ben nota regola
* Dividendo entrambi i membri per <math>x-x</math>:
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=== Algebra astratta ===
Simili proposizioni sono vere in strutture algebriche più generali, come in un [[anello (algebra)|anello]] o in un [[campo (matematica)|campo]]. In un campo, ogni elemento non zero è invertibile sotto la moltiplicazione, così, come sopra, la divisione pone problemi solo durante la divisione per zero. In altri anelli, però, anche la divisione per elementi non zero può porre problemi. Consideriamo, per esempio, l'anello <math>\Z/6\Z</math> degli interi modulo
Questa dovrebbe essere la soluzione <math>x</math> dell'equazione
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