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[[File:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|Due sottoinsiemi del piano uno ''connesso'' (in verde) l'altro ''non connesso'' (in viola) costituito da 4 ''componenti connesse'']]
In [[matematica]], uno [[spazio topologico]] si dice '''connesso''' se non può essere rappresentato come l'unione di due o più [[insiemi aperti]] non vuoti e [[disgiunzione|disgiunti]]. In maniera poco formale ma abbastanza intuitiva, possiamo dire che la connessione è la proprietà topologica di un insieme di essere formato da un solo "pezzo". Un sottoinsieme di uno [[spazio topologico]] si dice connesso se è uno spazio connesso con la [[topologia di sottospazio]].
La connessione è uno dei principali [[invariante topologico|invarianti]] usati per distinguere e classificare gli spazi topologici.
I sottoinsiemi connessi massimali di uno spazio topologico ''X'' sono le '''componenti connesse''' di ''X''. In altre parole, le componenti connesse possono essere viste come i "pezzi" da cui è formato ''X''.
==Definizione==
Uno spazio topologico ''X'' si dice '''sconnesso''' o '''disconnesso''' se è l'unione di due aperti non vuoti disgiunti. Altrimenti ''X'' si dice '''connesso'''.
Esistono altre definizioni equivalenti a questa:
* ''X'' è connesso se gli unici sottoinsiemi contemporaneamente aperti e [[insieme chiuso|chiusi]] sono ''X'' stesso e l'[[insieme vuoto]].
* ''X'' è connesso se non è l'unione di due insiemi chiusi, non vuoti e disgiunti.
Un sottoinsieme di uno spazio topologico è connesso se e solo se è connesso con la [[topologia di sottospazio]].<ref name=man1>{{Cita|M. Manetti|par. 4.1|manetti}}</ref>
===Componenti connesse===
Le '''componenti connesse''' di uno spazio topologico sono i sottoinsiemi connessi massimali (rispetto all'[[inclusione]]). In altre parole, sono i sottoinsiemi di X connessi più grandi, ovvero i vari pezzi da cui ''X'' è formato. Se lo spazio ''X'' è connesso, esisterà una sola componente che coincide con ''X'' stesso. Se non lo è, le componenti connesse saranno due o più.
Le componenti connesse di uno spazio topologico ne formano una partizione: sono disgiunte, non vuote e la loro [[unione]] forma l'intero spazio. In generale, le componenti di uno spazio topologico non sono aperte; lo sono solo se ogni punto ammette un intorno connesso
Fissato un punto ''x'' nello spazio topologico, l'unione di tutti i connessi contenenti ''x'' è la componente connessa contenente ''x''.<ref name=man2>{{Cita|M. Manetti|par. 4.2|manetti}}</ref>
===Spazi totalmente disconnessi===
Uno spazio topologico ''X'' è disconnesso (o sconnesso) se non è connesso. Tra questi, quelli le cui componenti connesse sono tutti e soli i punti di ''X'' sono detti spazi '''totalmente disconnessi'''.
== Esempi ==
Uno spazio topologico ''X'' è '''connesso per archi'''<ref>In inglese ''path-connected''</ref> (o con terminologia equivalente, ''connesso per cammini'') se per ogni coppia di punti ''x'' e ''y'' dello spazio esiste un [[arco (topologia)|arco]] che li collega.
Più formalmente, uno spazio ''X'' è connesso per archi (o per cammini) se comunque scelta una coppia di punti ''x'',''y'' in ''X'', esiste una [[funzione continua]] <math>\alpha:[0,1]\to X</math> tale che <math>\alpha(0)=x</math> e <math>\alpha(1)=y</math>.<ref name="man1">{{Cita|M. Manetti|par. 4.1|manetti}}</ref>
===Componenti connesse per cammini===
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