Pentagono: differenze tra le versioni

In [[geometria]], un '''pentagono''' è un [[poligono]] di cinque lati e cinque angoli, uguali o disuguali, regolare o irregolare, che può essere concavo o convesso, semplice o complesso (intrecciato). Un caso particolare di pentagono intrecciato è il [[Pentagramma (geometria)|pentagramma]], la cui forma più nota può essere ottenuta da un pentagono regolare estendendone i lati, oppure disegnandone le diagonali: è la cosiddetta stella a cinque punte che si può ripetere un'infinità di volte dentro un pentagono.

 

[[File:Regular Pentagon Geometry 1.svg|thumb|upright=1.8|Fig. 1: Determinazione degli angoli del pentagono regolare]]

 

Da queste definizioni si può dedurre che tutte le [[Diagonale|diagonali]] del pentagono sono congruenti, in quanto lati omologhi dei [[Triangolo|triangoli]] ABC, BCD, CDE, DEA e EAB, che sono a loro volta [[Criteri di congruenza dei triangoli|congruenti]]: hanno infatti due lati che coincidono con i lati del pentagono, i quali definiscono gli angoli interni del pentagono stesso (lati e angoli interni del pentagono regolare che, come detto, sono congruenti per definizione).

 

 

La definizione di pentagono regolare non implica automaticamente che tale poligono sia circoscrivibile o inscrivibile in una [[circonferenza]], ma tale fatto può essere facilmente dimostrato. [[Bisettrice|Bisecando]] ogni angolo interno del pentagono si ottiene la serie di triangoli AOB, BOC, COD... che sono tutti isosceli, in quanto gli angoli che giacciono sulle loro basi AB, BC, CD... sono ciascuno metà degli angoli interni del pentagono. I segmenti AO e BO sono quindi congruenti; ma lo sono anche BO e CO, CO e DO... di conseguenza:

 

* i triangoli che hanno come base i lati del pentagono e come vertice il punto O sono congruenti;

* gli angoli al centro del pentagono, ovvero gli angoli che dal centro della circonferenza circoscritta sottendono ciascun lato del pentagono stesso, sono congruenti;

* nel pentagono regolare può essere inscritta una circonferenza (arco tratteggiato in Fig. 1), tangente ai lati del pentagono nei punti di base delle altezze tracciate da O, e il cui raggio coincide con la lunghezza di tale altezze. Il raggio della circonferenza inscritta è detta [[Apotema_(geometria)|apotema]].

 

 

Stabilito il fatto che un pentagono regolare può essere inscritto in una circonferenza, si può quantificare l'ampiezza degli [[Cerchio#Angoli_particolari_nel_cerchio|angoli al centro]], ovvero degli angoli che dal centro O della circonferenza sottendono ciascuno dei lati del pentagono:

Il punto E giace sulla circonferenza circoscritta al pentagono, quindi gli angoli AEB, BEC e CED, che sottendono rispettivamente gli archi (e le relative corde / lati) AB, BC e CD, hanno ampiezza ciascuno metà dell'angolo al centro:

 

 

Di conseguenza l'angolo interno del pentagono vale:

* [[Dodecaedro]]

 

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