Sistema dinamico lineare stazionario discreto: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m Sistemazione automatica della disambigua: Vettore |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 8:
*le '''[[variabili di stato]]''' in [[funzione (matematica)|funzione]] del tempo ''n''
*le variabili di stato all'istante iniziale <math>t_0</math>
*gli '''ingressi''', cioè le variabili su cui si agisce, a seconda delle caratteristiche di [[controllabilità]] del sistema per modificare l'andamento o [[traiettoria dello stato]] (sempre in funzione del tempo ''n''). Ci possono essere particolari variabili di ingresso, dette '''[[disturbi]]''' o '''[[rumori]]''', su cui non si può agire in alcun modo
*le '''uscite''', cioè le variabili misurate da cui si deduce, a seconda delle caratteristiche di [[osservabilità]] del sistema, il valore o la [[stima dello stato]] (sempre in funzione del tempo ''n''). <br>
Le funzioni ''f'' e ''h'' non dipendono direttamente da ''n''.
Riga 18:
Unendo le precedenti si ha '''il processo LIT''', descritto da equazioni matriciali (matrici costanti) lineari.
Ad '''esempiò'' volendo analizzare la dinamica del prodotto interno lordo P(n) di una nazione, siano C(n) i consumi, I(n) gli investimenti e G(n) le spese per il governo.
Se P(n) è l'uscita del sistema e G(t) l'ingresso, lo stato del sistema è dato dal vettore <math>\left(\begin{array}{c} C(n)\\I(n)\end{array}\right) </math>.
Secondo il modello di Samuelson i consumi si possono assumere proporzionali al prodotto interno lordo dell'anno precedente, pertanto si ha :
<math>C(n)=mP(n-1)</math> e quindi <math>C(n+1)=mP(n) </math> con 0<m<1 dove m è la propensione marginale al consumo.
Inoltre sempre secondo tale modello gli investimenti sono proporzionali all'incremento di consumo per cui si ha :
<math>I(n+1)=\mu(C(n+1)-C(n))</math>.
Infine vi è l'equazione di bilancio :
<math>P(n)=C(n)+I(n)+G(n)</math>
Risolvendo il sistema si ricava che :
:<math>A=\left(\begin{array}{cc}
m & m\\
\mu(m-1) & \mu m\end{array}\right);</math>
:<math>B=\left(\begin{array}{c}m\\
m\mu\end{array}\right);</math>
:<math>C=(1 \quad 1);</math>
:<math>D=(1)\,</math>
== Soluzione dell'equazione matriciale alle differenze data dalla (1)==
Volendo risolvere tale equazione bisogna valutarla per n=0,1,2,...
Pertanto si ha :
<math>x(1)=Ax(0)+Bu(0)</math>
<math>x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^2x(0)+ABu(0)+Bu(1)</math>
<math>x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^3x(0)+A^2Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)</math>
<math>x(n)=A^n x(0)+A^{n-1}Bu(0)+A^{n-2}Bu(1)+...+Bu(n-1)</math>
Pertanto si ottiene :
<math>x(n)=A^n x(0)+\sum^{n-1}_{m=0}A^m Bu(n-m-1)</math>
Posto l=n-m-1 si ha m=n-l-1 e quindi la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è :
<math>x(n)=A^n x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}A^{n-l-1} Bu(l)</math>.
Occorre distinguere i seguenti casi:
* A ammette soltanto [[autovalori]] [[reali]] con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore,
* A ammette soltanto autovalori [[complessi coniugati]],
* A ammette sia autovalori reali che complessi coniugati,
* A non è [[diagonalizzabile]].
=== Caso 1: A ammette soltanto autovalori reali con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore===
In tal caso considerata la matrice P n per n le cui colonne sono gli [[autovettori]] di A [[linearmente indipendenti]] che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore
si ha dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici :
:<math>P^{-1}AP=\Lambda</math> dove <math>\Lambda</math> è la [[matrice diagonale]] in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di A ripetuti eventualemnte ciascuno con la propria molteplicità.
In particolare se gli autovalori di A sono reali e distinti sulla matrice diagonale <math>\Lambda</math> vi saranno gli n autovalori distinti di A.
Essendo <math>A=P \Lambda P^{-1}</math> allora:
:<math>A^{n}=(P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})...(P \Lambda P^{-1})=P\Lambda^{n}P^{-1}</math>
pertanto '''la soluzione dell' equazione matriciale alle differenzè'' è :
<math>x(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)</math>.
Si nota che la '''[[risposta libera nello stato]]''' ottenuta ponendo u(t)=0 è:
:<math>x_{l}(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)</math>
mentre '''la risposta forzata nello statò'' ottenuta ponendo <math>x(0)=0</math> è :
:<math>x_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)</math>
Inoltre '''la risposta libera nell'uscità'' per u(l)=0 è:
:<math>y_{l}(n)=CP\Lambda^{n}P^{-1} x(0)</math>
mentre '''la risposta forzata nell'uscità'' per <math>x(0)=0</math> è:
:<math>y_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)+Du(n)</math>
=== Caso 2: A ammette soltanto autovalori complessi coniugati ===
Volendo analizzare il caso in cui A ammette autovalori complessi coniugati, supponiamo che A sia una matrice 2 per 2 e siano <math>\alpha+j\omega</math> (''j'' è l'[[unità immaginaria]]) e <math>\alpha-j\omega</math>
i 2 autovalori complessi coniugati di A e <math>u_{a}+ju_{b}</math> e <math>u_{a}-ju_{b}</math> i due autovettori complessi coniugati corrispondenti.
Allora applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:
:<math>(A-(\alpha+j\omega)I)((u_{a}+ju_{b})=0</math>
(I è la [[matrice identica]] 2 per 2, essendo anche A 2 per 2) che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma :
:<math>((A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b})+j((A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}))=0</math>
Affinchè l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:
:<math>\begin{array}{c} (A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b}=0\\ (A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}=0\end{array}</math>
che può essere posto nella forma :
:<math> A(u_a u_b)=(u_a u_b)\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \omega \\
-\omega & \alpha \end{array}\right)</math>
Pertanto se si pone <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati si ha che :
:<math>TAT^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \omega \\
-\omega & \alpha \end{array}\right)</math>
Rappresentando il numero complesso <math>u_{a}+ju_{b}</math> nel piano di Gauss se <math>\lambda </math> è il modulo e <math>\beta</math> l'argomento si ha :
<math>\alpha=\lambda\cos\beta</math> e <math>\omega=\lambda\sin\beta</math> pertanto :
<math>A=T^{-1}\lambda\left(\begin{array}{cc}
\cos\beta & \sin\beta \\
-\sin\beta & \cos\beta \end{array}\right)T</math>
Si dimostra per induzione che :
<math>A^n=T^{-1}\lambda^{n}\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta & \sin n \beta \\
-\sin n \beta & \cos n \beta \end{array}\right)T</math>
Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:
<math>x(n)=T^{-1}\lambda^{n}\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta & \sin n \beta \\
-\sin n \beta & \cos n \beta \end{array}\right)T x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}T^{-1}\lambda^{n}\left(\begin{array}{cc}
\cos (n-l-1)\beta & \sin (n-l-1) \beta \\
-\sin (n-l-1) \beta & \cos (n-l-1) \beta \end{array}\right)T Bu(l)</math>.
=== Caso 3: A ammette sia autovalori reali che complessi coniugati===
Supponiamo che la matrice A di ordine n ammetta k autovalori reali distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k</math> a cui corrispondono k autovettori distinti <math>v_1,v_2,...,v_k</math>
allora si hanno le seguenti equazioni:
<math>\begin{array}{c} Av_1=\lambda_1v_1\\Av_2=\lambda_2v_2\\...\\Av_k=\lambda_kv_k \end{array}</math>
Supponiamo inoltre che la matrice A ammetta p coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è :<math>\alpha_p+j\omega_p</math> e <math>\alpha_p-j\omega_p</math> a
cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati <math>u_{a_p}+ju_{b_p}</math> e <math>u_{a_p}-ju_{b_p}</math> allora per quanto visto nel caso precedente
per la p-esima coppia, se <math>\tau_p</math> è il modulo dell'autovalore p-esimo e <math>\beta</math> il suo argomento si ha:
<math>A(u_{a_p} u_{b_p})=(u_{a_p} u_{b_p})\tau_p\left(\begin{array}{cc}
\cos \beta_p & \sin \beta_p \\
-\sin \beta_p & \cos \beta_p \end{array}\right)</math>
Ora posto <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono i k autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie
delle p coppie di autovettori complessi coniugati cioè :
<math>T^{-1}=(v_1,v_2,...,v_k,u_{a_1},u_{b_1},u_{a_2},u_{b_2},...,u_{a_p},u_{b_p})</math> allora dalle precedenti equazioni si ha la [[matrice diagonale a blocchi]]:
<math>TAT^{-1}=\mbox{diag} \left(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k,\tau_p\left(\begin{array}{cc}
\cos \beta_1 & \sin \beta_1 \\
-\sin \beta_1 & \cos \beta_1 \end{array}\right),...,\tau_p\left(\begin{array}{cc}
\cos \beta_p & \sin \beta_p \\
-\sin \beta_p & \cos \beta_p \end{array}\right)\right)</math>
pertanto:
<math>x_l(t)=T^{-1}\mbox{diag} \left(\lambda_1^n,\lambda_2^n,...,\lambda_k^n,
\tau_p^n\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta_1 & \sin n\beta_1 \\
-\sin n\beta_1 & \cos n\beta_1 \end{array}\right),...,\tau_p^n\left(\begin{array}{cc}
\cos n\beta_p & \sin n\beta_p \\
-\sin n\beta_p & \cos n\beta_p \end{array}\right)\right)Tx(0)</math>
=== Caso 4: A non è diagonalizzabile===
Successivamente verrà analizzato questo caso...
== Proprietà dei sistemi LIT ==
Line 35 ⟶ 184:
* PBHtest di raggiungibilità
<math>rk[\begin{matrix} zI-A | B\\ \end{matrix}]=n ,</math>
dove I è la [[matrice identica]] n per n.
Se i test di raggiungibilità di cui sopra falliscono non necessariamente non si può stabilizzare il sistema. Con riferimento alla decomposizione di Kalman rispetto alla raggiungibilità, se gli autovalori della parte non raggiungibile <math>A_{11},</math> si trovano già in una parte del piano complesso, detta <math>\mathbb{C}b</math> e delimitata da una circonferenza di [[raggio]]
Un '''sistema è <math>\mathbb{C}b</math>
<math>rk[\begin{matrix} zI-A | B\\ \end{matrix}]=n, </math>
ovvero:
<math>rk[\begin{matrix} zI-A | B\\ \end{matrix}]=n, </math>
=== Osservabilità e rilevabilità===
Line 55 ⟶ 204:
* PBHtest di Osservabilità
<math>rk\begin{vmatrix} zI-A \\C \end{vmatrix}=n </math>
Se i test di osservabilità di cui sopra falliscono non necessariamente non si può osservare il sistema. Con riferimento alla decomposizione di Kalman rispetto alla osservabilità, se gli autovalori della parte inosservabile <math>A_{11}</math> si trovano già in una parte del piano complesso "buono" (delimitata da una circonferenza di raggio
Un '''sistema è <math>\mathbb{C}b</math> rilevabile''' se e solo se:
<math>rk\begin{vmatrix} zI-A \\C \end{vmatrix}=n </math>
ovvero:
<math>rk\begin{vmatrix} zI-A \\C \end{vmatrix}=n </math>
==Voci correlate==
| |||