Lemma di Poincaré: differenze tra le versioni

In [[analisi matematica]] e [[calcolo vettoriale]], il '''lemma di Poincaré''', il cui nome si deve a [[Jules Henri Poincaré]], afferma che se <math>A \subset \R^n</math> è un sottoinsieme aperto e [[Spazio contraibile|contraibile]] allora ogni ''p''-[[forma differenziale]] chiusa e [[funzione liscia|liscia]] definita su <math>A</math> è una forma differenziale esatta per ogni intero <math>p>0</math>. La contrattilità dello spazio significa che esiste un'[[omotopia]] <math>F_tH : A \times [0,1] \to A</math> che deforma in modo [[funzione continua|continuo]] <math>A</math> fino a farlo diventare un punto.

Nel caso di [[campo vettoriale|campi vettoriali]], una forma chiusa corrisponde ad un [[campo irrotazionale]], in cui le derivate parziali incrociate delle componenti sono uguali. In tale contesto il teorema mostra che l'irrotazionalità equivale alla [[forza conservativa|conservatività del campo]]; ovvero, se un campo vettoriale <math>\mathbf VF: A \rightarrow \R^n</math>:

:<math>\mathbf VF(\mathbf x) =(V_1F_1(x_1, \dots x_n), \dots V_nF_n(x_1, \dots x_n))</math>

è definito su un [[insieme aperto]] [[Insieme stellato|stellato]] <math>A \subset \R^n</math> (o in un [[insieme semplicemente connesso]]), è della prima [[classe di continuità]] (ovvero <math>\mathbf VF \in C^1(A)</math>), ed è irrotazionale:

:<math>\partial_i V_jF_j - \partial_j V_iF_i = 0 \qquad \forall i,j \in \{1, \dots,n \}</math>

allora il campo è conservativo, cioè esiste una funzione <math> UF(\mathbf x) \in C^{n-1}(A) </math> detta [[potenziale]] tale che il suo [[gradiente]] è il campo:

:<math>\mathbf VF(\mathbf x) = \nabla UV(\mathbf x)</math>