Funzione poligamma: differenze tra le versioni
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denota la [[funzione digamma]] e <math>\Gamma(z)</math> denota la [[funzione gamma]].
== Generalità ==
La funzione poligamma si denota anche <math>\,\psi^{(m)}</math>.
La funzione <math>\,\psi_1</math> viene detta anche '''funzione trigamma''' e la
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:<math>\psi_n(mz) = \delta_{n,0} \ln m + {1 \over m^{n+1}} \sum{k=0}^{m-1} \psi_n\left(z+{k\over m}\right) </math>
== Alcuni valori particolari ==
Si dimostra che
:<math>\frac{d}{d z}\ln{\Gamma{(z)}} = \frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_0(z) = - \gamma - \frac{1}{z} - \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k+z} - \frac{1}{k} \right) </math>
dove <math>\gamma</math> è la [[costante di Eulero-Mascheroni]]. Questa serie, per <math> z = m </math> intero positivo, si riduce ad una somma finita
:<math> \frac{\Gamma'{(m)}}{\Gamma{(m)}} = \psi_0(m) = - \gamma + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{m-1} </math>
Derivando membro a membro rispetto a <math>z</math> si ha, ancora,
:<math>\frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_1(z) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+z)^2} </math>
che per <math> z = 0 </math> diverge, mentre per <math> z = 1 </math> diviene la [[Serie armonica#Dimostrazione della convergenza per α = 2|serie armonica generalizzata di ordine 2]]
:<math>\left[ \frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} \right]_{z=1} = \psi_1(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math>
== Bibliografia ==
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